工科数学分析（一）

纯粹是无聊整理一波之前学习的数学分析，希望对看的人有一定的帮助，另外由于偏工科因此开场的什么戴德金分割啊什么的暂时先略过，后期补上（咕咕咕）。
另外由于内容较多，请善用右侧的目录功能。

数列极限

Overview

0. 数列极限定义
1. 收敛数列极限的基本性质
2. 数列极限的计算方法
3. 实数系内的六个等价定理：单调有界定理、列紧性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理、闭区间套定理和确界定理

数列极限的定义和基本性质

数列极限的定义与应用

理论

0. 定义：按照自然数编号依次排列的一列数$x_1,x_2,…,x_n,…$称为无穷数列，简称数列，即为${x_n}$；

1. 数学语言描述：给定数列${a_n}$，$a$为常数，若$\forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb N^*$，使得$n>N$时，有
   $$
   |a_n-a|<\varepsilon
   $$
   则称数列${a_n}$以$a$为极限，记为$\lim \limits_{x \to \infty}a_n=a$，若数列没有极限，则称数列是发散的。

2. 逻辑符号描述见下

$$
\forall\varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)\in \mathbb N^*,\forall n>N:|x_n-a|<\varepsilon
$$

3. 推论：

   $\lim \limits_{x \to \infty}a_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb N^*$当$n>N$时，所有的点$x_n$都落在了$(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$内，且只有有限个（最多为$N$个）落在其外

4. 数列不存在的定义：
   $$
   \forall a\in \mathbb R,\exists\varepsilon>0,\forall N \in \mathbb N^*,\exists n_0>N:|x_{n_0}-a|\geq\varepsilon_0
   $$

例题

0. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}\frac {n+(-1)^{n-1}\ }n=1$（不等式法）

   证明：令$x_n=\frac {n+(-1)^{n-1}\ }n$则有$|x_n-1|=|\frac {n+(-1)^{n-1}\ }n-1|=\frac1n<\varepsilon$

   ​ $\forall \varepsilon>0$，要使$|x_n-1|<\varepsilon$，只要$n>\frac 1{\varepsilon}$，即取$N=[\frac 1\varepsilon]+1$

   ​ 则当$n>N$时，有$|\frac {n+(-1)^{n-1}\ }n-1|<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}\frac {n+(-1)^{n-1}\ }n=1$，证毕

1. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}q^n=0$，其中$|q|<1$（不等式法）

   证明：若$q=0$，则$\lim_\limits{n \to \infty}=\lim_\limits{n \to \infty}0=0$

   ​ 若$0<|q|<1,\forall \varepsilon>0$，取$0<\varepsilon<1$

   ​ 若$0<|q|<1,\forall \varepsilon>0$，取$0<\varepsilon<1$

   ​ 故$n>\frac {\rm {ln}\varepsilon}{\rm{ln}|q|}$，取$N=[\frac {\rm {ln}\varepsilon}{\rm{ln}|q|}]+1$

   ​ 则当$n>N$时，就有$|q^n-0|<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}q^n=0$，证毕

2. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}\frac 1{(n+1)^2}=0$（放缩法）

   证明：$\forall \varepsilon>0,\exists N=[\frac 1{2\varepsilon}]+1,\forall n>N:|\frac 1{(n+1)^2}-0|<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}\frac 1{(n+1)^2}=0$，证毕

3. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}\frac n{3^n}=0$

   证明：利用二项展开式，有

   ​ $\forall 0<\varepsilon<1,\exists N=\left[ \frac{\rm{ln}\varepsilon}{\rm{ln}\frac23}\right]+1,\forall n>N:|\frac n{3^n}-0|=\frac n{3^n}<\frac{2^n}{3^n}<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}\frac n{3^n}=0$，证毕

4. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}n^{\frac 1n}=1$

   证明：利用几何平均不大于算术平均，则有

   ​ $n^{\frac 1n}=(1…1\sqrt n \sqrt n)^{\frac 1n}\leq\frac{(n-2)+2\sqrt n}n=1+\frac{2(\sqrt n -1)}n$

   ​ 故采用定义法

   ​ $|n^{\frac 1n}-1|=n^{\frac 1n}-1\leq\frac{2(\sqrt n -1)}n<\frac {2\sqrt n}n=\frac 2{\sqrt n}<\varepsilon$，即$n>\frac 4{\varepsilon^2}$

   ​ 则$\forall \varepsilon>0,\exists N=[\frac 4{\varepsilon^2}]+1,\forall n>N:|n^{\frac 1n}-1|<\frac2{\sqrt n}<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}n^{\frac 1n}=1$，证毕

   法2：设$n^{\frac 1n}=1+h_n$，则有$n=(1+h_n)^n$，利用二项展开，则有

   ​ $n=1+nh_n+\frac {n(n-1)}2h_n^2+…+h_n^n>\frac{n(n-1)}2h_n^2$

   ​ 整理后有$1>\frac {n-1}2h_n^2$，即$h_n^2<\frac 2{n-1}$

   ​ 故$|n^{\frac 1n}-1|=h_n<\sqrt\frac 2{n-1} <\varepsilon$，即有$n>\frac 2{\varepsilon^2}+1$

   ​ 故$\forall \varepsilon>0,\exists N=[\frac 2{\varepsilon^2}]+2,\forall n>N:|n^{\frac 1n}-1|<\varepsilon$

   ​ 即有$\lim_\limits{n \to \infty}n^{\frac 1n}=1$，证毕

5. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}\frac {c^n}{n!}=0(c>0)$

   证明：当$0<c<1,\forall \varepsilon>0,\exists N=[\frac 1\varepsilon]+1,\forall n>N: |\frac {c^n}{n!}|<\frac 1n<\varepsilon$

   ​ 当$c>1,\exists m=[c+1] \in \mathbb N^*,c<m+1,\forall n>m$

   ​ 记$M=\frac{c\cdot c\cdot c…c}{1\cdot 2\cdot3 …(m-1)m}$，有$\frac{c^n}{n!}=\frac{c\cdot c\cdot c…c}{1\cdot 2\cdot3 …(m-1)m}\cdot \frac{c\cdot c\cdot c…c}{(m+1)(m+2)…n)}<\frac {Mc}n$

   ​ 则有$\forall \varepsilon>0,\exists N= \rm {max} {[\frac {Mc}\varepsilon ]+1,m},\forall n>N:|\frac {c^n}{n!}|<\frac {Mc}n<\varepsilon$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}\frac {c^n}{n!}=0(c>0)$，证毕（注：$c<0$时也成立)

6. 证明：$\lim_\limits{n \to \infty}\sin n$极限不存在（利用极限不存在的定义）

   证明：若$A>0,I_n=(2n\pi+\frac {5\pi}4,2n\pi+\frac {7\pi}4),|I_n|>1,n_0\in I_n$

   ​ 则$x\in(2n\pi+\frac {5\pi}4,2n\pi+\frac {7\pi}4)$，即$\sin x<-\frac {\sqrt 2} 2$

   ​ 其满足$\forall A\in \mathbb R,\exists\varepsilon_0>0,\forall N\in \mathbb N^*,\exists n_0>N:|\sin n_0 -A|=|\sin n_0|+A\geq\frac {\sqrt2}2=\varepsilon_0$

   ​ 即$\lim_\limits{n \to \infty}\sin n$极限不存在，证毕（注：$A<0$同理可得）

补充：常用不等式

0. 几何平均-算数平均不等式
   $$
   \frac 1{\frac 1n\left(\frac 1{a_1}+\frac 1{a_2}+…+\frac 1{a_n}\right)}\leq \sqrt[n]{a_1a_2……a_n} \leq \frac {a_1+a_2+…+a_n}n,(a_i\geq0,i\in I)
   $$

1. 伯努利（Bernoulli）不等式
   $$
   x>-1,(1+x)^n>1+nx,x\in \mathbb N^*
   $$

2. 柯西（Cauchy）不等式
   $$
   \left(\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2\leq\left(\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2\right)(a_i>0,b_i>0,i\in I)
   $$

3. $x\geq0,y\geq0,n\in \mathbb N^*$
   $$
   (x+y)^n\geq x^n+y^n\\
   (x^n+y^n)^{\frac1n}\leq x+y\\
   (x+y)^{\frac 1n} \leq x^{\frac 1n}+y^{\frac 1n}\\
   |x^{\frac 1n}-y^{\frac 1n}|\leq |x-y|^{\frac 1n}
   $$

补充：常用因式分解

0. 二项展开
   $$
   (a+b)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}
   $$

1. 高次幂差公式
   $$
   a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})
   $$

补充：常用重要结论

0. $\lim_\limits{n \to \infty}\sqrt[n]n=1$
1. $\lim_\limits{n \to \infty}q^n=0,|q|<1$
2. $\lim_\limits{n \to \infty}\frac {c^n}{n!}=0$
3. $\lim_\limits{n \to \infty}\frac {n^\alpha}{c^n}(\alpha>0,c>1)$
4. $\lim_\limits{n \to \infty}\frac{n!}{n^n}=0$
5. $\lim_\limits{n \to \infty}\sqrt[n]a=1(a>0)$

收敛数列的基本性质

唯一性：若数列收敛，其极限唯一

证明：设$\lim_\limits{n \to \infty}x_n=a,\lim_\limits{n \to \infty}x_n=b$，则由极限定义有$\forall\varepsilon>0$

​ 有$\exists N_1\in \mathbb N^*$，$\forall n>N_1:|x_n-a|<\varepsilon$

​ 同时$\exists N_2\in \mathbb N^*,\forall n>N_2:|x_n-b|<\varepsilon$

​ 则取$N=\rm{max}{N_1,N_2},n>N$有$|a-b|=|(x_n-b)-(x_n-a)|\leq|x_n-b|+|x_n-a|<2\varepsilon$

​ 当且仅当$a=b$上式成立

有界性

0. 数列有界定义：对于数列${a_n}$，若存在一个实数$M$，满足$a_n\leq M,n\in I$，则称${a_n}$有上界，且$M$是${a_n}$的上界；对于数列${a_n}$，若存在一个实数$W$，满足$a_n\geq W,n\in I$，则称${a_n}$有下界，且$W$是${a_n}$的下界；对于数列${a_n}$，若存在一个实数$X$，满足$|a_n|\leq X,n\in I$，则称${a_n}$有界。

1. 收敛数列必定有界

   证明：设$\lim_\limits{n \to \infty}x_n=a$，则由定义取$\varepsilon=1$时

   ​ 则必然有$\exists N \in \mathbb N^*, \forall n>N:|x_n-a|<1$，即有$a-1<x_n<a+1$

   ​ 记$M=\rm {max}{|x_1|,…,|x_N|,|a-1,|a+1||}$

   ​ 则对于一切自然数$n$，皆有$|x_n|\leq M$，故${x_n}$有界

2. 数列子列：

   0. 定义${a_n}$为数列，${n_k}$为正整数集的无限子集，且$n_1<n_2<…<n_k<…$，称数列$a_{n_1},a_{n_2},…,a_{n_k},…$为数列${a_n}$的一个子列，即为${a_{n_k}}$

      注意：子列的各项都是选自与原数列，且保持了在原来数列中的相对位置，故有$n_k\geq k$

   1. 定理：若数列${x_n}$收敛于$a$，则其任意一个子列也收敛于$a$

      证明：设${x_{n_k}}$是数列${x_n}$的任意子列，由于$\lim_\limits{n \to \infty}x_n=a$

      ​ 故$\forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb N^*:|x_n-a|<\varepsilon$

      ​ 取$K=N$，当$k>K$有$n_k>n_K=n_N\geq N$

      ​ 故有$|x_{n_k}-a|<\varepsilon$即$\lim_\limits{n \to \infty}x_{n_k}=a$，证毕

      应用：数列有两个子列极限存在但是不相等则数列发散，若有一个子列极限不存在则数列极限不存在。

   2. 例题：若${a_{2k}}，{a_{2k+1}}$收敛且极限相等，则${a_n}$收敛

      证明：由于两个子列极限均收敛，设其极限为$a$，则$\forall \varepsilon>0$

      ​ 有$\exists N_1\in \mathbb N^*,n=2k>N_1:|a_{2k}-a|<\varepsilon$

      ​ 且$\exists N_2 \in \mathbb N^*,n=2k+1>N_2:|a_{2k+1}-a|<\varepsilon$

      ​ 取$N=\rm{max}$${N_1.N_2},\forall n>N:|a_n-a|<\varepsilon$

      ​ 结论的证（可以进行数学归纳）

   3. 补充引理：波尔查诺-维尔斯特拉斯引理：任何有界数列中总可以选出收敛于有限极限的子列。

保序性

0. 设$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，且$\alpha<a<\beta$，则$\exists N\in \mathbb N^*$，当$n>N$有$\alpha<a_n<\beta$

   证明：取$\varepsilon=\frac{a-\alpha}2,\exists N_1=N ^ * ，\forall n>N_1:|a_n-a|<\varepsilon$有
   $$
   a_n>a-\varepsilon=\frac{a+\alpha}2>\alpha
   $$
   同理，取$\varepsilon=\frac{\beta-a}2$，$N_2\in \mathbb N^*,\forall n>N_2:|a_n-a|<\varepsilon$，有
   $$
   a_n<a+\varepsilon=\frac {a+\beta}2<\beta
   $$
   取$N=max{N_1.N_2}$，当$n>N$时上述两式均成立，则有$\alpha<a<\beta$

1. 设$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，$\lim_\limits{n \to \infty}b_n=b$，且$a<b$，则$\exists N\in \mathbb N^*$，当$n>N$时有$a_n<b_n$（证明略，同上面的证明方法差不多）

2. 设$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，$\lim_\limits{n \to \infty}b_n=b$，若$\exists N\in \mathbb N^*$，当$n>N$时有$a_n\leq b_n$，则$a\leq b$（证明略，反证法）

3. 注1：若$a_n<b_n$，但是也可能有$a=b$

   注2：设$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，$\exists N\in \mathbb N^*,n>N,a_n\geq 0$则$a\geq 0$

4. 例1：设$a_n\geq 0 $，若$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，则$\lim_\limits{n \to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]a(k\in \mathbb N^*)$

   证明：由保序性质可知$a\geq 0$

   1. 若$a=0$，则由$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=0$可得$\forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb N^*$，使得当$n>N$时

      有$a_n<\varepsilon^k$，使得$\sqrt[k]{a_n}<\varepsilon$，使得$\lim_\limits{n \to \infty}\sqrt[k]{a_n}=0$

   2. 若$a>0$，则由高次幂差的因式分解有
      $$
      |\sqrt[k]{a_n}-\sqrt a|=\left|\frac {(\sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]a)(\sqrt[k]{a_n})^{k-1}+…+(\sqrt[k]a)^{k-1}\ )}{(\sqrt[k]{a_n})^{k-1}+…+(\sqrt[k]a)^{k-1}\ }\right|
      \\=\frac{|a_n-a|}{\sqrt[k]{a_n})^{k-1}+…+(\sqrt[k]a)^{k-1}\ }\leq\frac{|a_n-a|}{(\sqrt[k]a)^{k-1}\ }
      $$
      则由$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$：$\forall \varepsilon>0,\exists N\in \mathbb N^*,\forall n>N:|a_n-a|<\sqrt[k]a)^{k-1}\varepsilon$

      结合上述公式后有$|\sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]a|<\frac {a_n-a}{\sqrt[k]a)^{k-1}\ }<\varepsilon$，即$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，证毕。

   例2：求$\lim_\limits{n \to \infty} \frac 1{\sqrt n(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}$

   解：
   $$
   原式=\lim_\limits{n \to \infty}\frac {\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt n}
   \\=\lim_\limits{n \to \infty}(1+\sqrt{1+\frac 1n})=2
   $$

收敛极限的计算

四则运算法则

定理：设$\lim_\limits{n \to \infty}a_n=a$，$\lim_\limits{n \to \infty}b_n=b$，则由

0. $\lim_\limits{n \to \infty}(a_n\pm b_n)=a\pm b$
1. $\lim_\limits{n \to \infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b$
2. 若$b\neq0$，则$\lim_\limits{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab$

证明方法就是使用极限的定义，此处略

夹逼定理

0. 定理：若数列${a_n}{b_n}{c_n}$满足$a_n\leq b_n\leq c_n, n\in \mathbb N ^ * $，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$，则有
   $$
   \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n
   $$
   注：$\exists N\in \mathbb N^*,n>N:a_n\leq b_n\leq c_n$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$，结论依旧成立

1. 证明思路分别对$a_n,c_n$使用定义，然后选取$N_{max}$，之后就可以得到两个不等式，既可以得到结论

2. 使用方法：对某些数列（可能是求和，也可能是某些根式）进行放缩，或者题目告知了明显的不等式上下界信息的时候可以使用，注意和定积分定义相区别

3. 无穷小数列：

   0. 定义：若$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$，则称数列${x_n}$为无穷小数列

   1. 结论：

      0. ${x_n}$为无穷小的充要条件是${|x_n|}$为无穷小；

      1. 两个无穷小之和（之差）仍然为无穷小

      2. 设${x_n}$为无穷小，且${y_n}$有界，则${x_n\cdot y_n}$仍然为无穷小

      3. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$的充要条件是$x_n=x+\beta_n$，这里的${\beta_n}$为无穷小数列
         $$
         \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow x_n=x+\beta_n,\lim\limits_{n\to\infty}\beta_n=0
         $$

      4. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$的充要条件是${x_n-x}$为无穷小

4. 无穷大数列：

   0. 定义：若数列${a_n}$

      (1) $\forall A>0,\exists N\in \mathbb N^*,n>N:a_n>A$，则称数列${a_n}$趋向于$+\infty$，并记作$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty$

      (2) (1) $\forall A>0,\exists N\in \mathbb N^*,n>N:a_n<-A$，则称数列${a_n}$趋向于$-\infty$，并记作$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty$

      (3) $\forall A>0,\exists N\in \mathbb N^*,n>N:|a_n|>A$，则称数列${a_n}$趋向于$\infty$，并记作$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$

      则满足上述三种情况的数列，称$n\to \infty$时，数列${a_n}$为无穷大

   1. 性质

      0. 无穷数列的任何子列极限均为无穷
      1. 无穷数列的加和称仍为无穷数列
      2. 无穷数列的每一项均取倒数时为无穷小数列
      3. 如果数列为无穷数列，则数列无界（反之不一定成立）

数列单调有界定理及闭区间套定理

单调有界定理

0. 单调数列的定义

   数列的前一项严格大于等于（或小于等于）后一项，则称数列为单调递增（递减）数列；

   若去掉等于，则称之为严格单调递增（递减）数列。

1. 定理：单调有界数列必有极限

   证明需要了解数字的构造，暂略（可以通过菲赫金哥尔茨的《数学分析原理》了解后，然后通过逐位确定极限值来证明这个定理）

   注：单调递增数列有极限，则极限为其上确界（内容见后）；单调递减数列有极限，则极限为其下确界。

2. 单调数列收敛原理的推论

   0. 单调数列收敛的充要条件为有一个子列的极限存在
   1. 单调数列发散的充要条件为有一个子列的极限不存在
   2. 一个单调数列要么极限存在，要么趋近无穷
   3. 单调数列收敛的充要条件为数列有界

3. 两个典型的单调数列

   0. $s_n=1+\frac 1{1!}+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+…+\frac 1{n!}$

   1. $e_n=\left(1+\frac 1n\right)^n$（证明过程需要使用伯努利不等式）

   2. 同时在单调有界数列的例题中，容易了解到欧拉公式
      $$
      1+\frac 12+…+\frac 1n=\ln(n)+\gamma+\varepsilon(n),\lim_\limits{0\to \infty}\varepsilon(n)=0
      $$

闭区间套定理

0. 定理

   设$I_n=[a_n,b_n],n\in \mathbb N^*$为一列闭区间，满足

   （1）$I_1\supset I_2\supset I_3 \supset I_4\supset … \supset I_n\supset I_{n+1}\supset …$

   （2）区间长度$|I_n|=b_n-a_n\to 0(n\to \infty)$

   则

   （1）存在唯一点$\xi$满足$\xi \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$

   （2）$\lim_\limits{0\to \infty}a_n=\lim_\limits{0\to \infty}b_n=\xi$

1. 证明：由区间的包含关系可知，数列${a_n}$为递增数列，而${b_n}$为递减数列，并且${a_n}$有上界$b_1$，${b_n}$有下界$a_1$（注，此处下界不是下确界，下界是一个集合）

   由单调有界定理可知$\lim_\limits{0\to \infty}a_n=a,\lim_\limits{0\to \infty}b_n=b$

   由于$a_n\leq b_n,n\in \mathbb N^*$，根据数列的保序性有$a\leq b $

   因此有不等式$a_n\leq a\leq b\leq b_n(n\in \mathbb N^*),0\leq b-a\leq b_n-a_n=|I_n|$

   由$|I_n|\to 0(n\to \infty)$可知$a=b$

   即$a\in I_n（n\in \mathbb N^*）$由此可以得到$a\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$

   接下来是唯一性：

   假设$\exists \alpha\in \bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n],\beta\in \bigcap_{n=1}^\infty[a_n,b_n]$

   则有$|\beta-\alpha|\leq \lim_\limits{0\to \infty}|b_n-a_n|=0$

   故$\alpha = \beta$

2. 注：定理条件缺一不可，即每一个区间都是闭区间

3. 用途：在数列的奇数子列单调递增（递减），而偶数子列单调递减（递增）

开区间套定理

设$I_n=（a_n,b_n）,n\in \mathbb N^*$为一列严格开区间套，满足：

（1）$a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<b_{n-1}<…<b_2<b_1$

（2）区间长度$|I_n|=b_n-a_n\to 0(n\to \infty)$

则存在唯一一点$\alpha$满足$\alpha \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$且$\lim_\limits{0\to \infty}a_n=\lim_\limits{0\to \infty}b_n=\alpha$

柯西定理

列紧性定理

0. 定理内容：任意有界数列中必定有一个收敛子列

1. 证明：设${x_n}$满足$a\leq x_n\leq b$

   将区间$[a,b]$二等分，选包含了${x_n}$的无穷多项子区间为$[a_1,b_1]$，其中$|b_1-a_1|=\frac {a-b}2$，取$x_{n_1}\in[a_1,b_1]$

   再次将$[a_1,b_1]$二等分，然后利用闭区间套定理逐步逼近

   最终会取得$x_{n_k}\in [a_k,b_k],n_k\geq n_{k-1}$

   得到以下结论：

   0. $[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset…\supset[a_k,b_k]\supset[a_{k+1},b_{k+1}]\supset…$
   1. $\lim_\limits{n\to\infty}|b_k-a_k|=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0$
   2. $x_{n_k}\in[a_k,b_k],n_k>n_{k-1},k\in I$

   最后使用闭区间套定理和夹逼定理得到了对应收敛子列的极限

柯西定理

0. 柯西基本列：对于任意给定数列${x_n}$，若$\forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)\in\mathbb N^* $，则当$m,n \in \mathbb N^*$且$m,n>N$时，有$|x_m-x_n|<\varepsilon$，则称${x_n}$为基本列

   其等价叙述为：对于任意给定数列${x_n}$，若$\forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)\in\mathbb N^* $，则$n>N$时，$\forall p \in \mathbb N^*$，有$|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$，则称${x_n}$为基本列

1. 逻辑符号叙述为

   $\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon) \in \mathbb N^ * ,\forall n>N,\forall p\in \mathbb N^ * :|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$

   $\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon) \in \mathbb N^ * ,\forall n,m\in \mathbb N^ * ,m,n>N:|a_m-a_n|<\varepsilon$

2. 例：证明：$a_n=1+\frac 1{2^2}+…+\frac 1{n^2}$

   证明：由$0<a_{n+p}-a_n=\frac 1{(n+1)^2}+…+\frac 1{(n+p)^2}$

   ​ $<\frac 1{n(n+1)}+\frac 1{(n+1)(n+2)}+…+\frac 1{(n+p-1)(n+p)}$

   ​ $=\frac 1n-\frac 1{n+p}$（裂项相消）$<\frac 1n$，即

   ​ $\forall \varepsilon >0,\exists N=\left[\frac 1\varepsilon\right]+1,\forall n\in \mathbb N^ * ,\forall n>N,\forall p\in \mathbb N^ * :|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$

   ​ 即${a_n}$为基本列

3. 柯西定理

   0. 定理内容：若数列收敛的充要条件为数列是基本列

   1. 证明：（必要性）设${a_n}$收敛于$a$，则有$\forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb N^ * ,\forall n>N:|a_n-a|<\frac \varepsilon 2$当$m,n>N$时有$|a_m-a_n|=|a_m-a+a-a_n|\leq|a_m-a|+|a_n-a|\leq\varepsilon$故数列为基本列
      （充分性）：（1）先验证${a_n}$有界

      ​ 取$\varepsilon_0=1,\exists N\in \mathbb N^ * ,n>N:|a_n-a_{N+1}|<\varepsilon=1$

      ​ 即$|a_n|=|a_n-a_{N+1}+a_{n+1}|\leq|a_n-a_{N+1}+a_{N+1}|$

      ​ $\leq|a_n-a_{N+1}|+|a_n+1|<1+|a_{N+1}|$

      ​ 取$M=\max={|a_1|,|a_2|,…,|a_N|,1+|a_{N+1}|}$，则$\forall n,|a_n|\leq M$

      （2）证明$\lim_\limits{n\to\infty}a_n=a$

      ​ 由列紧性定理有，存在收敛子列${a_{n_k}},\lim_\limits{n\to\infty}a_{a_k}=a$则

      ​ $\forall \varepsilon>0,\exists N_1\in \mathbb N^ * ,\forall k>N_1:|a_{n_k}-a|<\frac \varepsilon2 $

      ​ 又由于数列${a_n}$为基本列，故有

      ​ $\exists N\in \mathbb N^ * ,\forall m,n>N:|a_m-a_n|<\frac \varepsilon2 $

      ​ 取$n_k>\max{N_1,N}$，根据上述两式有：
      $$
      |a_n-a|=|(a_n-a_{n_k})+(a_{n_k-a)}|\leq|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\varepsilon
      $$
      ​ 即$\lim_\limits{n\to\infty}a_n=a$

      ​ 故柯西定理证毕

4. 实数完备性解释：（由柯西定理表明）实数构成的基本列必存在实数极限，这一性质称之为实数系统的完备性

确界定理和有限覆盖定理

上下确界定理

0. 上确界（Supremum）

   设$E$是非空有上界结合，若$\exists\beta$满足

   0. $\forall x\in E,x\leq \beta$
   1. $\forall \varepsilon >0,\exists x_\varepsilon \in E: x_\varepsilon>\beta-\varepsilon$

   则称$\beta$为$E$的上确界，记为$\beta =\sup E$

1. 下确界（Infimum）

   设$E$是非空有有界结合，若$\exists\alpha$满足

   0. $\forall x\in E,x\geq \alpha$
   1. $\forall \varepsilon >0,\exists y_\varepsilon \in E: x_\varepsilon<\alpha+\varepsilon$

   则称$\beta$为$E$的下确界，记为$\beta =\inf E$

2. 注，确界可能属于这个集合，也可能不属于这个集合

3. 确界定理：非空有上界数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界

4. 确界原理证明方法和列紧性的证明类似，过程略

5. 确界基本性质

   定义集合运算：$X+Y={x+y:x\in X,y\in Y}$

   则有下列性质

   0. $\inf(X+Y)=\inf X+\inf Y$
   1. $\sup(X+Y)=\sup X+\sup Y$
   2. $\inf(a+X)=a+\inf X ,a\in \mathbb R$
   3. $\sup(a+X)=a+\sup X,a\in \mathbb R$
   4. $\inf(X+Y)\leq \inf X + \sup Y\leq \sup(X+Y)$
   5. 保序性：对于数列${x_n}{y_n}，x_n\leq y_n$则$\sup x_n\leq \sup y_n,\inf x_n\leq \inf y_n$

6. 实数连续性的进一步解释：确界存在定理，通常称之为实数系的连续性定理，实数的连续性指的是实数域中每一个点都与坐标轴上点唯一确定

7. 若集合$E$存在上界$\beta$（下界$\alpha$），并且存在一个数列${x_n}\subset E$,满足$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\beta(\alpha)$，则$\beta(\alpha)$为集合$E$的上确界（下确界）

有限覆盖定理

0. 覆盖定义（这里要更多的了解可以去翻看Topology相关）：给定集合$A$，若有一族开区间${I_\lambda,\lambda \in E}$（E为指标集合），使得$A\subset\bigcup_{\lambda\in E}I_\lambda$，称这一族开区间覆盖了$A$，或称开区间族${I_\lambda}$是$A$的一个开覆盖。
1. 覆盖等价定义：${I_\lambda,\lambda \in E}$是$A$的覆盖，则$\forall x\in A$，总有一个开区间$I_{\lambda_0}\in {\ {I_\lambda} }$，使得$x\in I_{\lambda_0}$
2. 有限覆盖定理（Heine-Borel定理）：若${I_\lambda}$为有限闭区间$[a,b]$的任意一个（无限）开覆盖，则必可从只能够选出有限个开区间覆盖$[a,b]$（有机会把这个地方也写下，点集拓扑相较下来还是能够写一写）
3. 有限覆盖定理的证明方法为反证法

实数连续与完备性

0. 实数系六个定理证明回顾：这里指定单调有界定理为$D$，闭区间套定理为$B$，确界原理为$Q$，有限覆盖定理为$Y$，Cauchy收敛定理为$C$和列紧性定理为$L$，则有

$ \require{AMScd} $
$$
\begin{CD}
& & &D& & \\
& &\nearrow&\downarrow& & \\
&Q&\leftarrow &B&\rightarrow&Y\\
& & &\downarrow& & \\
& & &L&\rightarrow C& \\
\end{CD}
$$

1. 实数的基本性质：

   0. 实数对四则运算封闭
   1. 任意两个实数满足下列三种关系之一：$a>b,a=b,a<b$
   2. 实数大小具有传递性
   3. 实数具有阿基米德性：$\forall a,b\in \mathbb R,b>a>0 \Rightarrow \exists n \in \mathbb N^ * : na>b$
   4. 实数几何具有稠密性：任何两个实数之间必存在另一个实数
   5. 实数与数轴之间建立了一一对应的关系

2. 聚点：若点$a$的任何邻域$U(a;\delta)={x||x-a|<\delta}$都含有$E$中无穷多个点，则称$a$为$E$的聚点

   推论：$a$为集合$E$聚点的充分必要条件是存在各项互异数列${x_n}\subset E$，${x_n}$以$a$为极限

3. 聚点定理：实数轴上任何一个有界无限点集至少有一个聚点（利用闭区间套定理+夹逼定理证明）（也可以使用优先覆盖定理结合反证法），因此我们可以对之前的图表进行更新（聚点定理定义为$J$）
   $$
   \begin{CD}
   & & &D\\
   & &\nearrow &\downarrow\\
   &Q &\leftarrow &B &\rightarrow &Y\\
   &\Uparrow& &\downarrow & &\downarrow\\
   &C&\leftarrow &L&\leftarrow&J\\
   \end{CD}
   $$

4. 使用Cauchy收敛定理证明确界定理（结合实数的阿基米德性质证明，证明暂略）（在上面的图表中的双箭头就是这里的体现）

5. 我们可以从任意一个起点到任何一个终点。

数列上下限及斯笃茨定理

数列上下极限

0. 定义补充：扩充实数系$R_\infty=R\cup{-\infty,+\infty}$

1. 设${a_n}$为一个数列，集合$E$为${a_n}$中所有子列极限包含$\pm\infty$构成的集合：
   $$
   E={l\in \mathbb R_\infty:\exists a_{n_k} ,a_{n_k}\to l (k\to \infty)}
   $$
   称$E$的上下确界$a^ * =\sup E , a_ * =\inf E$为数列的上下极限，记为$\lim \limits_{n\to\infty}\sup a_n=a^ * $，$\lim \limits_{n\to\infty}\inf a_n=a_ * $

2. 性质：设两个数列${a_n},{b_n}$，则

   0. $\lim \limits_{n\to\infty}\inf a_n \leq\lim \limits_{n\to\infty}\sup a_n $
   1. $\lim \limits_{n\to\infty}\inf a_n =\lim \limits_{n\to\infty}\sup a_n\Leftrightarrow \lim \limits_{n\to\infty}a_n$存在
   2. （保序性）若存在$N$，对于$n>N$有$a_n\leq b_n$则$\lim \limits_{n\to\infty}\inf a_n \leq\lim \limits_{n\to\infty}\inf b_n$，$\lim \limits_{n\to\infty}\sup b_n \leq \lim \limits_{n\to\infty}\sup b_n$
   3. 任何有界数列的上下极限总是存在的

3. 上下极限的另外一种表达方式：对有界数列${x_n}$，定义

   $\alpha_n=\inf{x_n,x_{n+1},…}=\inf \limits_{k\geq n}{x_k}$

   $\beta_n=\sup{x_n,x_{n+1},…}=\sup \limits_{k\geq n}{x_k}$

   则${\alpha_n}$单调递增，${\beta_n}$单调递减，且下式成立
   $$
   \lim \limits_{n\to\infty}\alpha_n=\lim \limits_{n\to\infty}\inf x_n=a_* \\
   \lim \limits_{n\to\infty}\beta_n=\lim \limits_{n\to\infty}\sup x_n=a^ *
   $$

斯笃茨（Stolz）定理

Stolz定理：设

0. ${b_n}$为严格单调递增数列
1. $\lim \limits_{n\to\infty}b_n=+\infty$
2. $\lim \limits_{n\to\infty}\frac {a_n-a_{n-1}\ }{b_n-b_{n-1}\ }=A(-\infty,+\infty)$

则$\lim \limits_{n\to\infty}\frac {a_n}{b_n}=A$

或设

0. $\lim \limits_{n\to\infty}a_n=\lim \limits_{n\to\infty}b_n=0$
1. ${b_n}$为严格单调递减数列
2. $\lim \limits_{n\to\infty}\frac {a_n-a_{n-1}\ }{b_n-b_{n-1}\ }=A(-\infty,+\infty)$

则$\lim \limits_{n\to\infty}\frac {a_n}{b_n}=A$

证明分情况讨论$A$为有限数，正无穷和负无穷分别分析即可（过程暂略）

注：逆命题是不成立的

本章小总结

0. 部分典型数列极限
   0. $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]n=1$
   1. $\lim\limits_{n\to \infty}q^n=0,|q|<1$
   2. $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {c^n}{n!}=0$
   3. $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {n^\alpha}{c^n}(\alpha>0,c>1)$
   4. $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {n!}{n^n}=0$
   5. $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]a=1(a>0)$
   6. $\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac 1n)^n=e$
   7. $\lim\limits_{n\to \infty}(1+1+\frac 1{2!}+…+\frac 1{n!})=e$
   8. $1+\frac 12+…+\frac 1n-\ln(n)=\gamma+\varepsilon(n),\lim\limits_{n\to \infty}\varepsilon(n)=0$
   9. $x_n=1+\frac 1{2^\alpha}+…+\frac 1{n^\alpha}$，若$\alpha>1$收敛，否则发散
   10. $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\Rightarrow\lim\limits_{n\to \infty}\frac {a_1+a_2+…+a_n}n=a$
   11. $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a\geq0\Rightarrow\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[k]{x_n}=\sqrt[k]a$
   12. $\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac kn)^n=e^k,k\in \mathbb N^*$
   13. $x_n>0,\lim\limits_{n\to \infty}x_n=A>0\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_1x_2…x_n}=A$
1. 数列极限计算方法
   0. 常用数列极限
   1. 极限的定义分析极限的存在性
   2. 极限的四则运算
   3. 极限的夹逼定理
   4. 斯笃茨定理

函数极限与连续

集合映射基本术语和集合的分类

集合映射

0. 定义1：设$A,B$为两个集合，如果$f$是一种规则，$\forall x\in A$，在$B$中有唯一元素$f(x)$与之对应，则称$f$为$A$到$B$的映射$f:A\to B$，其中$A$为$f$的定义域，$f(x)\in B$称为$x$在$f$下的像，$A$中元素$x$的像的全体称为映射的值域$f(A)={y|y\in B,y=f(x),x\in A}$

1. 相等映射：设$f:A\to B , F : A\to B$，则$\forall x\in A$均有$f(x)=g(x)$，则称映射$f$和$g$相等，记为$f=g$

2. 符合映射：设$f:B\to C, g:A\to B$，当$x\in A$定义映射$(f\circ g)(x)=f(g(x))$为映射$f$与$g$的复合映射（注：复合映射的定义域要匹配）

3. 单射：定义映射$f:A\to B$，若$\forall x,y\in A$，若$x\neq y$，则$f(x)\neq f(y)$，称$f$为单射

4. 满射：定义映射$f:A\to B$，若$f(A)=B$，则称$f$为单射

5. 双射：若映射既是单射，又是满射，即映射为双射（亦称为一一对应）

6. 逆像：设映射$f:A\to B,F\subset B$，则$A$的子集$f^{-1}(F)={x\in A:f(x)\in F}$，称为$F$的逆像

7. 逆映射：设映射$f:A\to B$为双射，定义$f^{-1}:B\to A$，满足

   0. $f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=x,\forall x\in A$
   1. $f^{-1}\circ f = I_A$
   2. $f\circ f^{-1}(y)=f(f^{-1}(y))=y,\forall y \in B$
   3. $f\circ f^{-1}=I_B$

   其中$I_A,I_B$分别称为$A,B$上的恒等映射

集合势及基本性质

0. 集合势的定义：若集合$A$和$B$间存在双射，则称$A$和$B$有相同的势或等价，记为$A\sim B$

1. 集合等价的性质：

   0. 自反性：$A\sim A$
   1. 对称性：若$A\sim B$，则$B\sim A$
   2. 传递性：若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$

2. 集合的分类：定义（至多可数性）

   设$N_n={1,2,…,n}$

   0. $\exists n\in \mathbb N^*$，使$A\sim N_n$，则称$A$为有限集
   1. 若$A$不是有限集，则称$A$为无限集
   2. 若$A\sim \mathbb N^* $，则称$A$为可数集

   不是有限集合可数集的集合称为不可数集，有限和可数集统称为至多可数集

3. 集合势的基本结论

   0. 可数集的任何无限子集是可数集
   1. ${E_n}$为可数集序列，则$S=\bigcup_{x=1}^\infty E_n$为可数集
   2. 全体有理数集合为可数集
   3. 实数集合为不可数集

Hilbert旅馆

假设在无限房间的情况，一号房送到二号房，而二号房送到三号房，一直继续这样一号房就被空出来了。这个例子告诉我们：$\infty + N=\infty$，可数集$+N=$可数集。

假设现在有无限房间都住满了人，又来了无限多位订房间的客人，解决 方法就是将第$N$号客人送到第$2N$房间，这个例子告诉我们：可数集+可数集=可数集。

假设此刻又来了无穷多个大巴，每个大巴有无穷多个旅客，解决方法是将$N$号房间的客人搬到$2^N$房间去，这个例子告诉我们：无穷个可数集的并=可数集。

初等函数回顾

0. 函数的定义：$f:A\to B$的映射，若$B\subseteq \mathbb R$，则称$f$为函数

1. 基本初等函数：略

2. 基本运算性质：定义$f$和$g$的定义域为：$D(f)=D_f，D(g)=D_g$

   0. 和：$f+g:(f+g)(x)=f(x)+g(x),x\in D_f\cap D_g$
   1. 差：$f-g:(f-g)(x)=f(x)-g(x),x\in D_f\cap D_g$
   2. 积：$f\cdot g:(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D_f\cap D_g$
   3. 商：$\frac fg:(\frac fg)(x)=f(x)/g(x),x\in D_f\cap D_g , g(x)\neq 0 $
   4. 复合运算：设函数$y=f(u)$的定义域为$A$，函数$u=g(x)$的值域为$B$，若$B \subset A$，则定义$y=f\circ g(x)=f[g(x)]$为$f$和$g$的复合函数（注：复合函数可以由有限多个函数复合而成）

3. 初等函数：基本初等函数的有限次复合和四则运算得到的函数

4. 反函数：设$f$是$X\to Y$的双射，则$y=f(x)\to x=f^{-1}(y),x\in X,y\in Y$

   其中：$f\circ f^{-1}(y)=y,y\in Y，f^{-1}\circ f(x)=x,x\in X$，故$f\circ f^{-1}$和$f^{-1}\circ f$是恒等映射

5. 双曲函数：
   $$
   \sin hx=\frac {e^e-e^{-x}\ }2 \leftrightarrow \arcsin hx = \ln(x+\sqrt{x^2+1})，x\in \mathbb R \\
   \cos hx=\frac {e^e+e^{-x}\ }2 \leftrightarrow \arccos hx = \ln(x+\sqrt{x^2-1})，x\in [1,+\infty) \\
   \tan hx=\frac {e^e-e^{-x}\ }{e^e+e^{-x}\ }\leftrightarrow \arctan hx=\frac 1e \ln \frac{1+x}{1-x},x\in (-1,1)
   $$

6. 极坐标：在平面内取一点$O$，引出一条射线$Ox$，再选择一个长度单位和角度的正方向（通常选取逆时针方向）。

   对于平面内任一一点$M$，用$r$表示线段$OM$的长度，$theta$表示从$Ox$到$OM$的夹角，称序偶$(r,\theta)$为点$M$的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系，$O$称为极点，$Ox$称为极轴，$r$称为点$M$的极径，$\theta$称为点$M$的极角。

   $$
   x=r\cos(\theta)，y=r\sin(\theta),x^2+y^2=1,\tan\theta=\frac yx
   $$

7. 参数方程：一般形式为：$x=\phi(t),y=\psi(t)，a\leq t\leq b, t$为参数

   极坐标和直角坐标关系：
   $$
   x=r(\theta)\cos(\theta),y=r(\theta)\sin(\theta)
   $$

8. 旋轮线
   $$
   x=r(\theta-\sin\theta),y=r(1-\cos\theta)
   $$

9. 函数有界定义：设$f$为定义在$D$上的函数，若存在数$M(L)$，使得
   $$
   f(x)\leq M（f(x)\geq L）,\forall x\in D
   $$
   则称$f$为$D$的有上（下）界函数，$M(L)$称为$f$在$D$上的一个上（下）界。

   若存在一个正数$M$，使得对$\forall x\in D$，有$|f(x)|\leq M$，则称$f$为$D$上的有界函数

   注：$f$在$D$上无上界，无下界，无界的定义可以按照上述定义的否定来叙述

10. 单调函数定义：$y=f(x),x\in I,\forall x_1,x_2\in I$，当$x_1<x_2$时：

    若$f(x_1)\leq f(x_2)$时，则$f(x)$在$I$上为单调增函数；

    若$f(x_1)\geq f(x_2)$时，则$f(x)$在$I$上为单调减函数；

    若$f(x_1)< f(x_2)$时，则$f(x)$在$I$上为严格单调增函数；

    若$f(x_1)> f(x_2)$时，则$f(x)$在$I$上为严格单调减函数；

    定理：$f:A\to B$的严格单调函数，则$f^{-1}$存在且在其定义域内与$f$具有相同的单调性

11. 奇偶性：设$I$关于原点对称，$\forall x\in I$

    若$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$为偶函数；若$f(-x)=-f(x)$，称$f(x)$为奇函数

    偶函数$\pm$偶函数=偶函数，奇函数$\pm$奇函数=奇函数

12. 周期性：设$f$定义在$I$，若$\exists T>0,s.t. \forall x\in I:f(x\pm T)=f(x)$，则称$f$为周期函数，$T$为$f$的一个周期（$if\ n\in \mathbb N^* , nT$也为$f$的周期；所有周期的最小的一个周期称为基本周期，简称周期；常量函数不存在基本周期）

函数极限定义与基本理论

函数极限的定义与基本性质

0. 记号的引入：$U(x_0, \delta)={x||x-x_0|<\delta}$（邻域）和$\mathring{U}(x_0, \delta) ={x|0<|x-x_0|<\delta}$（去心邻域）

1. 函数极限的定义：设$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0, \delta)$，$L\in \mathbb R, \forall \varepsilon>0,\exists \delta(\varepsilon)<\delta$，当$0<|x-x_0|<\delta$时没有$|f(x)-L|<\varepsilon$

   称$x\to x_0$时，$f(x)$以$L$为极限，记为$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=L$

   符号语言描述为$\forall \varepsilon>0,\exists\delta(\varepsilon)>0,0<|x-x_0|<\delta:|f(x)-L|<\varepsilon$

   注意：$f(x)$在$x_0$处可以无定义；函数极限为局部性质，因此仅仅和$x_0$附近取值有关；$\delta(\varepsilon)$随着$\varepsilon$的变化而变化，$\varepsilon$越小则$\delta$越小

2. 函数极限不为$L$：（偷个懒，自己写一波）

   $$ \exists \varepsilon_0>0,\forall \delta>0,\exists x',0<|x'-x|<\delta:|f(x')-L|\geq\varepsilon $$

3. 函数极限不存在定理（还是老实自己写）

   $$ \forall L\in \mathbb R,\exists \varepsilon_0>0,\forall \delta>0,\exists x',0<|x'-x_0|<\delta:|f(x')-L|\geq \varepsilon_0 $$

4. 写完了么，上面的字是白的，你看看写对没有

5. 冷知识：之前我们有个波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，其中的魏尔斯特拉斯算是现在$\varepsilon-\delta$语言最早提出来的人，而且有关叙述成功提出来后，微积分才算是有了严格的基础。

6. 函数的左右极限：

   左极限：$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,x_0-\delta<x<x_0,s.t. |f(x)-A|<\varepsilon$，记作$\lim \limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$或$f(x_0-0)=A$

   右极限：$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,x_0<x<x_0+\delta,s.t. |f(x)-A|<\varepsilon$，记作$\lim \limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$或$f(x_0+0)=A$

   定理：$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \lim \limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim \limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$

7. 函数极限性质

   0. 若函数极限存在，则函数极限唯一
   1. （局部有界性）：$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0, \delta)$且$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在邻域$\mathring{U}(x_0, \delta)\subset\mathring{U}(x_0, \delta_0)$，使得$f(x)$在$\mathring{U}(x_0, \delta_0)$内有界
   2. （局部保序性）：设$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim \limits_{x\to x_0}g(x)=B$，则
      0. 若$A>B$，存在$\delta>0$，当$x\in \mathring{U}(x_0, \delta_0)$时有$f(x)>g(x)$
      1. 若存在$\delta>0$，当$x\in \mathring{U}(x_0, \delta_0)$时，$f(x)\geq g(x)$，则$A>B$
      2. $\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A>0$，则$\exists \delta>0,x\in x\in \mathring{U}(x_0, \delta_0):f(x)>0$

函数极限的四则运算与夹逼定理

0. 函数极限的四则运算：和数列的四则运算几乎一致
1. 夹逼定理：也和数列夹逼定理几乎一致（因为定义范围不同，所以用几乎一致）
2. 重要极限：$\lim \limits_{x\to 0}\frac {\sin x}x=1$

复合函数的极限

0. 定理：设$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim \limits_{t\to t_0}g(t)=x_0$，且在$\mathring{U}(x_0, \delta)$内有$g(t)\neq x_0$，则$\lim \limits_{t\to t_0}f[g(t)]=\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A$
1. 注意：若$f(x)$在$x=x_0$无意义，则关于邻域的的条件时不能缺省的，否则符合函数无意义

海涅定理

0. 定理：若函数$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0, \delta)$，则$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=A$的充要条件是$\forall {x_n}\subset \mathring{U}(x_0, \delta),\lim \limits_{n\to \infty}x_n=x_0$都有$\lim \limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$
1. 推论
   0. $\exists {x_n},{y_n}\subset \mathring{U}(x_0, \delta)$极限为$x_0$，则$\lim \limits_{n\to \infty} f(x_n)=A,\lim \limits_{n\to \infty}f(y_n)=B, A\neq B$
   1. $\exists {x_n}\subset \mathring{U}(x_0, \delta)$极限为$x_0$，则$\lim \limits_{n\to \infty} f(x_n)$不存在

函数极限的柯西定理

定理：函数若函数$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0, \delta)$，则$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)$存在的充要条件是
$$
\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x_1,x_2\in \mathring{U}(x_0, \delta),0<|x_1-x_0|<\delta,0<|x_2-x_0|<\delta\\
s.t. |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
$$
推论：函数若函数$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0, \delta)$，若$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)$不存在，则
$$
\exists \varepsilon_0 >0,\forall\delta >0,\exists x_1,x_2\in \mathring{U}(x_0, \delta),0<|x_1-x_0|<\delta,0<|x_2-x_0|<\delta\\
s.t. |f(x_1)-f(x_2)|\geq\varepsilon_0
$$

函数连续与一致连续

连续函数

0. 连续函数定义：设$f:(a,b)\to \mathbb R$，若对$x_0 \in (a,b)$，有$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x_0$处连续

   符号描述：$\forall \varepsilon>0.\exists \delta>0,|x-x_0|<\delta:|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$

1. 函数的左右连续定义：

   设$f:(a,b)\to \mathbb R$，若对$x_0 \in (a,b)$，有$\lim \limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x_0$处左连续；有$\lim \limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x_0$处右连续

   函数$f(x)$在$x_0$处连续的充要条件是函数在该店既左连续又右连续。

2. 连续函数性质：设$f:(a,b)\to \mathbb R$，若对$x_0 \in (a,b)$，有$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则

   0. 局部有界：若函数$f(x)$在$x_0$处连续，则存在$U(x_0, \delta)\subset(a,b)$，使得$f(x)$在$U(x_0, \delta)$有界；
   1. 局部保号：若函数$f(x)$在$x_0$处连续，且$f(x_0)>0(<0)$，则$\exists\delta>0,\forall|x-x_0|<\delta:f(x)>0(<0)$
   2. 四则运算性质:若函数$f(x)，g(x)$在$x_0$处连续，则$f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x),\frac {f(x)}{g(x)}(g(x)\neq 0)$在点$x_0$处也连续。
   3. 复合函数连续：若$g(t)$在$t=t_0$连续，且$g(t_0)=x_0$，则复合函数$f\circ g(t)$在$t=t_0$连续（注：相较于复合函数的极限少了$t_0$处的取值限制）

3. 函数在区间上连续的定义

   0. 若函数$f(x)$在$(a,b)$任一点连续，则称$f(x)$在$(a,b)$连续
   1. 若$f(x)$在$(a,b)$连续，且在$x=a$右连续，在$x=b$左连续，则$f(x)$在$[a,b]$连续

4. 反函数的连续：设$f(x)$是在区间$I$上的严格单调递增（递减）的连续函数，则$f^{-1}$是区间$f(I)$上严格单调递增（递减）的连续函数

5. 初等函数的连续性：基本初等函数在定义域内连续，初等函数在其定义域内连续

6. 连续的三个条件：在点处有定义，极限存在和极限与函数值相等

函数间断点分类

0. 第一类间断点：跳跃间断点（左右极限存在但不等），可去间断点（左右极限存在且相等但是不等于函数值）
1. 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在则称为第二类间断点

利用函数连续性求极限

函数$f(x)$在$x_0$处连续，则$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim \limits_{x\to x_0}x)$，即$f(x)$在$x=a=\lim \limits_{t\to t_0}g(t)$连续，则$\lim \limits_{t\to t_0}f(g(t))=f(\lim \limits_{t\to t_0}g(t))$。

以上说明了连续函数中，极限符号和函数符号是可以交换顺序的。

例：计算
$$
\lim \limits_{x\to 0}\frac {\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x} }x
$$
解：令$k=mn,a=\sqrt[m]{1+\alpha x},b=\sqrt[n]{1+\beta x}$则（暂时不要考虑下洛必达法则）

$$
\begin{align}
原式 & =\lim \limits_{x\to 0}\frac {(\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x})( (1+\alpha x)^{\frac { n m - 1 }m}+… +(1+ \beta x)^{\ { n m -1} n}\ )\ } {x(1+\alpha x)^{\frac { n m -1 } m }+…+(1+\beta x)^{\frac {nm-1}n})}\\
&=\lim \limits_{x\to 0}\frac {(1+\alpha x)^n-(1+\beta x)^m}{x(1+\alpha x)^{\frac {nm-1}m}+…+(1+\beta x)^{\frac {nm-1}n})}\\
&=\lim \limits_{x\to 0}\frac {(n\alpha -m\beta)x+[C_n^2\alpha^2x^2+…+(\alpha x)^n-C_m^2\beta^2x^2+…-\beta^mx^m]}{x(1+\alpha x)^{\frac {nm-1}m}+…+(1+\beta x)^{\frac {nm-1}n})}\\
&=\lim \limits_{x\to 0}[ \frac 1{(1+\alpha x)^{\frac {nm-1}m}+…+(1+\beta x)^{\frac {nm-1}n})}]\\
&\times \lim \limits_{x\to 0}[ \frac {(n\alpha -m\beta)x+[C_n^2\alpha^2x^2+…+(\alpha x)^n-C_m^2\beta^2x^2+…-\beta^mx^m]}x]\\
&=\frac 1{nm}\times (n\alpha-m\beta)\\
&=\frac {n\alpha-m\beta}{mn}
\end{align}
$$

函数的一致连续

0. 定义——函数逐点连续：设

   $f:E\to \mathbb R,\forall x_0 \in E：\forall \varepsilon >0,\exists(\varepsilon,x_0)>0,\forall x\in E,|x-x_0|<\delta:|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$

   则称函数在集合$E$逐点连续。

1. 连接逐点连续和一致连续的桥梁：$\forall \varepsilon >0,\delta = \inf \limits_{\forall x_0\in E}\delta(\varepsilon , x_0)>0$

2. 定义——函数的一致连续：设

   $f:E\to \mathbb R, \forall \varepsilon >0, \exists \delta(\varepsilon )>0, \forall x_1, x_2 \in E,|x_1-x_2|<\delta : |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$

   则称$f$在$E$上一致连续。

3. 函数不一致连续的定义：设

   $f:E\to \mathbb R, \exists \varepsilon_0 >0, \forall \delta > 0, \exists s ,t \in E,|s-t|<\delta : |f(s)-f(t)|\geq \varepsilon_0$

   或

   $f:E\to \mathbb R, \exists \varepsilon_0 >0, \forall \delta_n =\frac 1n, \exists s_n ,t_n \in E,|s_n-t_n|<\delta_n : |f(s_n)-f(t_n)|\geq \varepsilon_0$）

   则称$f$在$E$上不一致连续。

4. 判定定理：$f:E\to \mathbb R,f$在$E$上一致连续的充分必要条件是：$\forall { x_{n1} }{x_{n2}}\in E,\lim \limits_{n\to \infty}|x_{n1}-x_{n2}|=0$，满足$\lim \limits_{n\to \infty}(f(x_{n1})-f(x_{n2}))=0$

   推论：设$f:E\to \mathbb R$，函数不一致连续的充要条件$\exists s_n,t_n \in E,\lim \limits_{n\to \infty}|s_n-t_n|=0$：$\lim \limits_{n\to \infty}(f(s_n)-f(t_n) \neq0$

函数极限的其他形式与结论

注意有趋近$x,x^+,x^-,0,+\infty,-\infty$六种形式，对于不同的内容会有补充，若略则说明只是对应自变量范围发生了变化，注意次节一定要认真细扣每一个符号和字母。

0. 左右邻域

   右邻域：$U_+(x_0,\delta)={x|0\leq x-x_0<\delta}$

   左邻域：$U_-(x_0,\delta)={x|0\leq x_0-x<\delta}$

   右去心邻域：$\mathring{U}_+(x_0, \delta)={x|0< x-x_0<\delta}$

   左去心邻域：$\mathring{U}_-(x_0, \delta)={x|0< x_0-x<\delta}$

1. 对于趋近于$x_+$（$x_-$类似）的规律

   0. 局部有界性：设$f(x)$在$\mathring { U } _ + ( x_0 , \delta _ 0 )$内有定义且$\lim \limits _ { x \to x _ 0 ^ + }f(x)$存在，则存在$\mathring{U}_ + ( x_0, \delta) \subset \mathring{U} _ + ( x _ 0, \delta _ 0)$，使得$f(x)$在$\mathring{U} _ + ( x _ 0 , \delta) $上有界

   1. 局部保序性：$f(x),g(x)$定义在 $\mathring{ U } _+ ( x _ 0 , \delta _ 0 ) , \lim \limits _ { x \to x _ 0 ^ + }f(x)=A, \lim \limits _ { x \to x _ 0 ^ + } g ( x ) = B $，则

      0. 若$A>B$，则$\exists \delta>0(\delta<\delta_0),x\in \mathring{U}_+(x_0, \delta):f(x)>g(x)$

      1. 若$\exists\delta>0(\delta<\delta_0),x\in \mathring{U}_+(x_0, \delta),f(x)>g(x)$，则$A\geq B$

   2. 四则运算（略，仅仅只是函数定义域发生了变化）

   3. 夹逼定理（略，仅仅只是函数定义域发生了变化）

   4. 复合函数极限：设$f(x)$定义在$\mathring{U} _ + ( x _ 0 , \delta ) , \lim \limits _ { x \to x _ 0 ^ + } f(x) = A , g ( t ) $在邻域$\mathring{U} _ + ( t _ 0 , \delta _ 0 )$内取值大于$ x _ 0 $，且$\lim \limits _ { t \to t _ 0 ^ +} g(t) = x _ 0$，则复合函数$ \lim \limits _ { t \to t _ 0 } f \circ g ( t ) = A $

   5. 海涅原理：设$f(x)$在$\mathring{U}_+(x_0, \delta_0)$内有定义，则有下面结论

      0. $\lim \limits_{x\to x_0^+}f(x)=A\Leftrightarrow $对于任意一个以$x_0$为极限的数列$ \ { x _ n \ } \subset \mathring { U } _ + ( x _ 0 , \delta _ 0 ) $均有$\lim \limits_ { x \to \infty } f ( x _ n ) = A $
      1. $\lim \limits_{ x \to x _ 0 ^ + }f(x)=A \Leftrightarrow$对于任意一个一$x_0$为极限的递减数列${ x _ n } \subset\mathring{U}_ + ( x _ 0 , \delta _ 0)$均有$\lim \limits _ { x \to \infty} f ( x _ n ) = A $

   6. 柯西定理：设$f(x)$在 $\mathring{U} _ + ( x _ 0 , \delta _ 0 ) $内有定义，$\lim \limits _ { x \to x _ 0 ^ + } f ( x _ n )=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0$，$\exists \delta > 0 ( \delta < \delta _ 0)$，则对于邻域$\mathring{U} _ + ( x _ 0 , \delta _ 0)$内任意两点$ x_1 , x_2 $使得$ | f ( x _ 1 ) - f ( x _ 2 )| < \varepsilon $成立

2. 对于趋向于无穷的规律

   0. 趋向正无穷定义：设$f(x)$定义在$[a,+\infty)$，$A$为给定的数，若$\forall \varepsilon >0, \exists M>a$，对$\forall x>M$，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称当$x\to +\infty$时$f(x)$极限为A，记为
      $$
      \lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A,f(x)\to A(x\to +\infty)
      $$

   1. 趋向负无穷定义：设$f(x)$定义在$(-\infty,+a]$，$A$为给定的数，若$\forall \varepsilon >0, \exists M>|a|$，对$\forall x<-M$，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称当$x\to -\infty$时$f(x)$极限为A，记为
      $$
      \lim \limits_{x\to -\infty}f(x)=A,f(x)\to A(x\to -\infty)
      $$

   2. 趋向无穷定义：设$f(x)$定义在$(-\infty,+\infty)$，$A$为给定的数，若$\forall \varepsilon >0, \exists M>$，对0$\forall |x|>M$，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称当$x\to \infty$时$f(x)$极限为A，记为
      $$
      \lim \limits_{x\to \infty}f(x)=A,f(x)\to A(x\to\infty)
      $$

      注：$\lim \limits_{x\to \infty}f(x)=A\Leftrightarrow \lim \limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A$

   3. 水平渐进线：直线$y=L$称为曲线$y=f(x)$的水平渐进线，若
      $$
      \lim \limits_{x\to \infty}f(x)=L或\lim \limits_{x\to -\infty}f(x)=L或\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=L
      $$

   4. 垂直渐进线：直线$x=L$称为曲线$y=f(x)$的水平渐进线，若
      $$
      \lim \limits_{x\to x_0}f(x)=\infty
      $$

   5. 斜渐近线：直线$y=ax+b$称为曲线$y=f(x)$的斜渐进线，若
      $$
      \lim \limits_{x\to \infty}(f(x)-ax-b)=0或\lim \limits_{x\to +\infty}(f(x)-ax-b)=0或\lim \limits_{x\to -\infty}(f(x)-ax-b)=0
      $$
      其中
      $$
      a=\lim \limits_{x\to \infty}\frac {f(x)}x,b=\lim \limits_{x\to \infty}(f(x)-ax)(或\lim \limits_{x\to +\infty}或\lim \limits_{x\to -\infty})
      $$

   6. 规律

      0. 局部有界：$f(x)$定义在$(a,+\infty),\lim \limits_{x\to \infty}f(x)$存在，则$\exists M>a,W>0$，当$x>M:|f(x)|<W$成立
      1. 四则运算：（略，仅仅只是函数定义域发生了变化）
      2. 夹逼定理：（略，仅仅只是函数定义域发生了变化）
      3. 复合函数的极限：设$f(x)$定义在$(M,+\infty),\lim \limits_{x\to +\infty }f(x)=A,g(t)$定义在邻域$(A,+\infty)$内，且$\lim \limits_{t\to+\infty}g(t)=+\infty$，则复合函数$\lim \limits_{t\to +\infty}f\circ g=\lim \limits_{t\to +\infty}f(g(t))=A$
      4. 局部保序性：设$f(x),g(x)$定义在$(a,+\infty)$
         0. 若$\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A,\lim \limits_{x\to +\infty}g(x)=B$，且$A<B$，则$\exists M>0,\forall x>M:f(x)<g(x)$
         1. 若$\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A,\lim \limits_{x\to +\infty}g(x)=B$，若$\exists M>0,\forall x>M:f(x)\geq g(x)$，则$A\geq B$
      5. 海涅原理：设$f(x)$定义在$(a,+\infty)$，则有下面结论
         0. $\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow (a,+\infty)$中任意数列${x_n}\to +\infty$均有$\lim \limits_{x\to \infty}f(x_n)=A$
         1. $\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow (a,+\infty)$中任意单调递增的数列${x_n}\to +\infty$均有$\lim \limits_{x\to \infty}f(x_n)=A$
      6. 柯西定理：设$f(x)$定义在$(a,+\infty)$，$\lim \limits_{x\to +\infty}f(x_n)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0$，$\exists M>0$，$\forall x_1,x_2\in (a,+\infty),x_1>M,x_2>M:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$

无穷小和无穷大

收敛速度：无穷小阶的比较

0. 定义：设$f(x)$定义在$\mathring{U}(x_0,\delta),\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=0$，则称$f(x)$是当$x\to x_0$时的无穷小（其他范围的定义类似）
1. 定义：设$f(x),g(x)$定义在$\mathring{U}(x_0,\delta)$，当$x\to x_0$时为无穷小
   0. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=0$，则称$f$为$g$的高阶无穷小
   1. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=l\neq 0$，则称$f$与$g$为同阶无穷小
   2. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f$与$g$为等价无穷小（记为：$f\sim g(x\to x_0)$）
2. 无穷小的量化：若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{(x-x_0)^k}=l\neq 0,(k>0)$，则称$f$为$k$阶无穷小
3. 运算性质：
   0. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=0$，则$f(x)=o(g(x))$
   1. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=l\neq 0$，则称$f(x)=O(g(x))$
   2. 若$\lim f(x)=0$，则$f(x)=o(1)$
   3. $o(x^m)+o(x^n)=o(x^{\rm min{m,n}\ })$
   4. $o(x^m)o(x^n)=o(x^{m+n})$
   5. （3）、（4）对于$O$同理（实际上这就是为什么渐进时间复杂度要用$O$的原因）
4. 等价代换定理：若函数$f(x),g(x),h(x)$在$x_0$某个邻域有定义且$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$，若
   0. $\lim \limits_{x\to x_0}g(x)h(x)=a \Rightarrow \lim \limits_{x\to x_0}f(x)h(x)=a$
   1. $\lim \limits_{x\to x_0}g(x)/h(x)=a \Rightarrow \lim \limits_{x\to x_0}f(x)/h(x)=a$
   2. 注意只能在乘除使用
   3. 等价无穷小举例（略）：体现了多项式函数替换复杂函数

无穷大阶的比较

0. 定义：设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$有定义：
   0. $\forall M>0,\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta:|f(x)|>M$，称$f(x)$是$x\to x_0$时的无穷大记为$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$
   1. $\forall M>0,\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta:|f(x)|>M$，称$f(x)$是$x\to x_0$时的正无穷大记为$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$
   2. $\forall M>0,\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta:|f(x)|>M$，称$f(x)$是$x\to x_0$时的负无穷大记为$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty$
1. 无穷大阶的比较
   0. 垂直渐近线（前有，略）
   1. 定义：设$f(x),g(x)$为当$x\to x_0$时为无穷大
      0. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=0$，则称$g$为$f$的高阶无穷大
      1. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=l\neq 0$，则称$f$与$g$为同阶无穷大
      2. 若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=1$，则称$f$与$g$为等价无穷大（记为：$f\sim g(x\to x_0)$）
   2. 量化：若$\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)}{(x-x_0)^{-k}\ }=l\neq 0,(k>0)$，则称$f$为$k$阶无穷大

闭区间上连续函数的性质

一致连续性

康托定理：若$f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续（注意必须是闭区间）

推论：

0. 若$f$在$[a,b]$内一致连续，则$f(a+0),f(b-0)$存在
1. 若$f\in C(a,b)$，且$f(a+0)$和$f(b-0)$存在，则$f$在$(a,b)$一致连续
2. 若$f(x)$在$(a,b)$内一致连续的充要条件是$f(x)$在$(a,b)$内连续且端点值对应的单侧极限存在

有界性

若$f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上有界（注意必须是闭区间）

推论：若$f(x)$在$(a,b)$内一致连续，则$f(x)$在$(a,b)$上有界

最大值最小值定理

若$f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上必能取到最大值和最小值

介值定理

若$f(x)\in C[a,b]$，$\lambda$是介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意实数，则存在$c\in (a,b)$使得$f(c)=\lambda$

推广：若$f(x)\in C[a,b]$，$x_1,x_2,…,x_n \in [a.b]$，任意正实数满足$\lambda_1+\lambda_2+…+\lambda_n=1$，则存在一点$\eta\in [a,b]$使得
$$
f(\eta)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_kf(x_k)
$$
（证明方法，放缩后使用介值定理）

零点定理

若$f(x)\in C[a,b]$，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则存在$\xi\in (a,b)$，使的$f(\xi)=0$

有限覆盖定理的进一步认识

关于有限覆盖定理

有限覆盖定理的应用方法为：将无穷的问题转化为有限问题的处理，将逐点的性质转化为整体的性质

压缩映射定理

0. 压缩数列：设${x_n}$满足$|x_{n+1}-x_n|\leq k|x_n-x_{n-1}|,0<k<1,n\in I$，则${x_n}$的极限存在，$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\alpha$，且有误差估计
   $$
   |x_n-\alpha|\leq \frac {k^n}{1-k}|x_1-x_0|
   $$
   则该数列为压缩数列

1. 设$f(x)$在$[a,b]$内有定义，方程$f(x)=x$在$[a,b]$上的解称为$f(x)$在$[a,b]$上的不动点

2. 设函数$f(x):E\to E$满足$|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|(0<k<1),\forall x,y\in E$则称函数$f(x)$为集合$E$上的压缩映射

3. 压缩映射原理：若函数$f(x)$为下列闭区间上压缩映射$E=[a,b]$或$[a,+\infty)$，或$(-\infty,a]$或$(-\infty,+\infty)$，则存在唯一不动点：$\alpha \in E,f(\alpha)=\alpha$

非线性方程根的数值求解——利用压缩映射原理

利用压缩映射原理求解根。

利用柯西定理判断什么时候计算结束。

收敛速度分析定义：

0. 设数列${x_n}$和${y_n}$均收敛于$a$，若$\lim \limits_{n\to \infty}|\frac {x_n-\alpha}{y_n-\alpha}|=0$，则${x_n}$比${y_n}$收敛更快
1. 设${x_n}$收敛于$a$，若$\lim \limits_{n\to \infty}|\frac {x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^\beta}|=C\neq 0 $则称为收敛速度阶为$\beta$

一元函数的导数及微分中值定理

导数

导数的定义

0. 切线的斜率
   $$
   k=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
   $$

1. 定义：函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域$U(x_0,\delta)$内有定义，若极限
   $$
   \lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
   $$
   存在，该极限为$f(x)$在$x_0$处的导数，称$y=f(x)$在点$x_0$处可导，记为
   $$
   f’(x)或y’(x)|{x=x_0}或\frac {\rm d \mit f(x)}{\rm d\mit x}|{x=x_0}
   $$

2. 导数定义的其他等价形式
   $$
   f’(x_0)=\lim \limits_{h\to 0}\frac {f(x_+h)-f(x_0)}h\\
   f’(x_0)=\lim \limits_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
   $$

3. 单侧导数定义：函数$y=f(x)$在$x_0$的某邻域$U(x_0,\delta)$内有定义，若极限
   $$
   f’(x_0 ^ + )=\lim \limits_{h\to 0^+}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}h=f ‘ _ + (x_0)\\
   f’(x_0 ^ - )=\lim \limits_{h\to 0^-}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}h=f ‘ _ -(x_0)\\
   $$
   则分别称上列两个为$f(x)$在$x=x_0$的左右导数

4. 可导的条件

   0. 函数$f(x)$在$x_0$可导的充要条件是左右导数存在且相等。（即讨论函数单点性质则需要回归导数的极限定义）
   1. 函数$f(x)$在区间内可导
      0. 若函数$f(x)$在$(a,b)$内有定义，若$\forall x_0 \in (a,b),f’(x_0)$存在，则称$f(x)$在$(a,b)$内可导
      1. 若在$a,b$两点对应的单侧导数存在，则称$f(x)$在$[a,b]$内可导

5. 可导和连续：可导必连续，连续未必可导

导数的四则运算法则

定理：若函数$u(x),v(x)$在区间$I$内可导，则它们的和、差、积、商也可导，且

0. $[u\pm v]’=u’\pm v’$
1. $[u\cdot v]’=u’v+uv’$
2. $[\frac uv]=\frac {u’v-uv’}{v^2}(\forall x\in I,v(x)\neq0)$

推论：
$$
\begin{align}
& 0. \ [\displaystyle\sum_{i=1}^nf_i(x)]’=\displaystyle\sum_{i=1}^n f’i(x)\\
& 1. \ [Cfx()]’=Cf’(x)\\
& 2. \ [\displaystyle\prod{j=1}^nf_j(x)]’=\displaystyle\sum_{i=1}^nf_1(x)…f’_j(x)…f_n(x)
\end{align}
$$
注意：有限次运算法则才可适用

复合函数的求导定理

定理：若函数$u=\phi(x)$在$x_0$可导，而$y=f(u)$在点$u_0=\phi(x_0)$可导，则复合函数$y=f[\phi(x)]$在点$x_0$可导，且其导数为
$$
\frac {\rm d\mit y}{\rm d x}|{x=x_0}=(\frac {\rm d \mit f(u)}{\rm d \mit u}|{u=u_0})(\frac {\rm d \mit \phi(x)}{\rm d \mit x}|_{x=x_0})=f’(u_0)\cdot \phi’(x_0)
$$
亦称为链式法则。

推广：在满足前提的条件下，令$y=f(u),u=\phi(v),v=w(x)$，有
$$
\frac {dy}{dx}=\frac {dy}{du}\frac{du}{dv}\frac {dv}{dx}
$$
其也可以通过数学归纳法得到$n$重（有限）复合函数的导数。

反函数的求导法则

若函数$x=f(u)$在区间$I_y$内单调可导，且$f’(y)\neq0$，那么它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x={x|x=f(y),y\in I_y}$内也可导，则
$$
[f^{-1}(x)]’=\frac 1{f’(y)}
$$

高阶导数

0. 二阶导数：如字面意思，记为$f’’(x),y’’(x),\frac {d^2y}{dx^2}$或$\frac {d^2f(x)}{dx^2}$

1. $n$阶导数：记为$f^{(n)}(x)$或$\frac {d^nx}{dx^n}$

2. 高阶导数：大于等于二阶导数均称为高阶导数

3. 莱布尼茨（Leibniz）公式
   $$
   (f\cdot g)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^kf^{(n-k)}g^{(k)}
   $$

   参数方程和隐函数求导

参数方程

0. 参数方程确定的函数：若参数方程

   $$
   \begin{cases}
   y=\phi(t)
   \\y=\psi(t)
   \end{cases}
   $$
   确定了$y$与$x$间的函数关系，此为由参数方程所确定的函数。同时，若函数$x=\phi(t)$的反函数存在$t=\phi^{-1}(x)$，则$y=\psi(t)=\psi(\phi^{-1}(x))$

1. 参数方程的一阶导函数方法：

   设$x=\phi(t)$严格但雕刻刀，$\phi’(t)\neq 0$，则$t=\phi^{-1}(x)$存在且可导，由复合函数及反函数的求导法则有
   $$
   \frac {dy}{dx}=\frac {dy}{dt}\cdot\frac {dt}{dx}
   $$

2. 参数方程我的二阶导数：

   若函数
   $$
   \begin{cases}
   y=\phi(t)
   \\y=\psi(t)
   \end{cases}
   $$
   二阶可导，则
   $$
   \frac {d^2y}{dx^2} = \frac d{dx}(\frac {dy}{dx})=\frac d{dt}(\frac{\psi’(t)}{\phi’(t)})\frac {dt}{dx}=\frac {\psi’’(t)\phi’(t)-\psi’(t)\phi’’(t)}{\phi’^2(t)}\cdot\frac 1{\phi’(t)}
   $$
   即
   $$
   \frac {d^2y}{dx^2} =\frac {\psi’’(t)\phi’(t)-\psi’(t)\phi’’(t)}{\phi’^3(t)}
   $$

隐函数

0. 定义：若方程$F(x,y)=0$，当任意$x\in I$，总存在唯一$y$满足方程，则称$F(x,y)=0$在$I$上确定了一个隐函数。
1. 方法：只需要始终注意谁是谁的函数即可。

罗尔定理

0. 极值和极值点：设函数$f(x)$定义在集合$I$，存在$U(x_0,\delta)\subset I$
   0. $\forall x \in U(x_0,\delta)$，$f(x)\leq f(x_0)$，则称$x_0$为极大值点；
   1. $\forall x \in U(x_0,\delta)$，$f(x)\geq f(x_0)$，则称$x_0$为极小值点；
   2. 注：极值点是集合的内点，不是边界点
1. 费马（Fermat）引理：设定义在集合$I$的$f(x)$，其中$x_0$为$I$的内点，在$x=x_0$ 可导且$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f’(x_0)=0$
2. 罗尔定理：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f’(\xi)=0$
3. 推论：若函数$f^{(n)}(x)$在区间$I$内不为$0$，则$f(x)$在对应区间内至多有$n$个根
4. 注：极值点需要考虑一阶导数为0及一阶导数不存在的点

拉格朗日中值定理

0. 定义：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得
   $$
   \frac {f(b)-f(a)}{b-a}=f’(\xi)
   $$
   或者$f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$

1. 拉格朗日的等价形式：

   0. $f(b)-f(a)=f’(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta<1$
   1. $f(a+h)-f(a)=f’(a+\theta h )h,0<\theta<1$
   2. 注：公式（1）中$\theta$是一个关于$h$的隐函数

2. 推论：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则$f(x)\equiv c,\forall x\in[a,b]\Leftrightarrow f’(x)=0,x\in (a,b)$

柯西中值定理

0. 定义：$f(x),g(x)$均在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得
   $$
   \frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac {f’(\xi)}{g’(\xi)}
   $$

1. 等价形式：

   0. $$
      \frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac {f’(\xi)}{g’(\xi)}
      $$

   1. $$
      \frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac {f’(a+\theta(b-a))}{g’(a+\theta(b-a))},0<\theta<1
      $$

   2. $$
      \frac {f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac {f’(a+\theta h)}{g’(a+\theta h)},0<\theta<1
      $$

   3. 公式（2）中$\theta$是一个关于$h$的隐函数

2. 关系
   $$
   \begin{CD}
   &罗尔定理 &\leftarrow &拉格朗日中值定理 &\leftarrow &柯西中值定理
   \end{CD}
   $$

导数的应用

单调性

0. 定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则$f(x)$在$[a,b]$上递增（减）的充要条件为

$$
f’(x)\geq0(\leq0),x\in (a,b)
$$

1. 严格单调性判定：把等于0的条件去掉，但是注意不再是充要条件，而是充分条件；
2. 严格单调判定定理：在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内除有限个点外$f’(x)>0(<0)$，则$f(x)$在$[a,b]$上严格递增（递减）
3. 严格单调判定定理2：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则$f(x)$在$[a,b]$上严格单调增函数的充要条件为
   0. $f’(x)\geq0,\forall x\in (a,b)$
   1. 在$(a,b)$的任意开集中，有$f’(x)$不恒为0

极值判断

0. 极值判定定理1：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$x_0\in(a,b) $
   0. 若$\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$有$f’(x)>0$且$\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$有$f’(x)<0$，则$f(x_0)$为极大值；
   1. 若$\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$有$f’(x)<0$且$\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$有$f’(x)>0$，则$f(x_0)$为极小值；
   2. 若$x_0$两侧的$f’$不变号，则$f(x_0)$不为极值。
   3. 注意为充分条件
1. 极值判定定理2：若设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f’(x_0)=0$，$f’’(x_0)$存在，则
   0. 若$f’’(x_0)<0$，则$f(x_0)$为极大值
   1. 若$f’’(x_0)>0$，则$f(x_0)$为极小值
   2. 若$f’’(x_0)=0$，则$f(x_0)$不确定
   3. 证明方法运用极限的保序性。
2. 最大值和最小值：求驻点，逐个计算，选出最大和最小

凹凸函数

0. 定义：设$y=f(x),x\in I$，若对$\forall x_1,x_2\in I,x_1\neq x_2$，$\forall \lambda_1,\lambda_2>0$且$\lambda_1+\lambda_2=1$成立

   0. 若$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)\leq \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$，则$f(x)$在$I$上为凸函数；
   1. 若$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)\geq \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$，则$f(x)$在$I$上为凹函数；

1. 詹森不等式：设$y=f(x),x\in I$，若对$\forall x_1,x_2,…,x_n\in I,x_1\neq x_2$，$\forall \lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n>0$且$\lambda_1+\lambda_2+…+\lambda_n=1$成立

   0. 若$f(x)$在$I$上为凸函数，则有
      $$
      f(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)
      $$

   1. 若$f(x)$在$I$上为严格凸函数，则有
      $$
      f(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)<\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)
      $$

   2. 凹函数则大小关系相反

2. 凹凸函数判定定理1：$f(x)$在$I$上为凸函数的充要条件为
   $$
   \forall x_1<x<x_2\in I:\frac {f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leq\frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac {f(x_2-f(x))}{x_2-x}
   $$
   若严格凸，只需要将相等去除即可，凹函数将小于等于改为大于等于，严格凹类似；

3. 补充：利普希茨（Lipschitz）条件：$\exists L>0,\forall x’,x’’\in [\alpha,\beta]$成立有$|f(x’)-f(x’’)\leq |x’-x’’|$

4. 凹凸函数判定定理2：若$f(x)$在$I$上为凸函数，且在对应区间内二阶可导，则$f’’(x)\geq0$

   严格性和凹函数和判定定理1类似

5. 补充：赫尔德不等式：$a_i>0,b_i>0,i= 1,2,…,n$有
   $$
   \displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\leq\left(\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac 1p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac 1q},p,q>1,\frac 1p+\frac 1q=1
   $$

洛必达法则

0. 不定式函数：$\frac 00$型，$\frac \infty\infty$型和$1^\infty$型

1. $\frac 00$型：设$f(x)$，$g(x)$定义在区间$(x_0,x_0+\delta)$且$g(x)\neq 0$，满足

   0. $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)=0$

   1. $f(x),g(x)$在区间内可导，且$g’(x)\neq0$

   2. $$
      \frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f’(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g’(x)}=a(a可为无穷大)
      $$

   3. 则有
      $$
      \frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)}=\frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f’(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g’(x)}=a(a可为无穷大)
      $$

2. $\frac \infty \infty$型：设$f(x)$，$g(x)$定义在区间$(x_0,x_0+\delta)$，满足

   0. $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

   1. $f(x),g(x)$在区间内可导，且$g’(x)\neq0$

   2. $$
      \frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f’(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g’(x)}=a(a可为无穷大)
      $$

   3. 则
      $$
      \frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)}=\frac {\lim\limits_{x\to x_0^+}f’(x)}{\lim\limits_{x\to x_0^+}g’(x)}=a(a可为无穷大)
      $$

3. $0\cdot \infty$型：转化为上面两种状况（倒代换）

4. $\infty-\infty$型：通过倒代换转换为第一种类型

5. $0^0,1^\infty,\infty^0$型：通过取对数转化为$0\cdot \infty$型

函数作图

0. 一般步骤：单调区间，凹凸区间，渐近线

1. 定义：函数凹凸的分界点为拐点

2. 定理：函数$f(x)$在某个邻域内二阶可导，且$x_0$处为拐点，则$f’’(x_0)=0$

3. 定理：函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有三阶导数，且$f’’(x_0)=0,f’’’(x_0)\neq0$，则$(x_0,f(x_0))$为函数$f(x)$的拐点（注：二阶导数不存在也可能是拐点）

一些补充

0. 勒让德多项式
   $$
   P_m(x)=\frac 1{2^mm!}\left[(x^2-1)^m\right]^{(m)}(m\in I)
   $$

1. 契比雪夫-拉格尔多项式
   $$
   L_m(x)=e^x(x^me^{-x})^{(m)}
   $$

2. 契比雪夫-厄尔米特函数
   $$
   H_m(x)=(-1)^me^{x^2}(e^{-x^2})^{(m)}
   $$

3. 契比雪夫多项式
   $$
   T_m(x)=\frac 1{2^{m-1}}(m\cdot\arccos x)(|x|<1)
   $$

4. 广义罗尔定理：$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$，则$\exists c \in (a,b)$，使得$f’(c)=0$

5. 达布定理：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且$f’(a_+)\neq f’(b_-)$，$k$介于$f’(a_+)$和$ f’(b_-)$之间的任意实数，则至少存在一点$\xi\in (a,b)$，使得$f’(\xi)=k$

6. 若

   0. 函数$\varphi(x)$及$\psi(x)$可微分$n$次；
   1. $\varphi^{k}(x_0)=\psi^{(k)}(x_0)(k=0,1,2,…,n-1)$
   2. 当$x>x_0$时有$\varphi^{n}(x)>\psi^{(n)}(x)$

   则有当$x>x_0$时有$\varphi(x)>\psi(x)$

7. Yong不等式
   $$
   ab\leq\frac {a^p}p+\frac {b^q}q(a>0,b>0,\frac 1p+\frac 1q=1)
   $$
   当且仅当$a^p=b^q$时，取等号

8. 牛顿迭代法
   $$
   \begin{cases}
   x_{k+1}=x_k-\frac {f(x_k)}{f’(x_k)}(f’(x_k)\neq 0), k\in \mathbb N ^ * \\
   x_0为初始迭代值
   迭代函数：F(x)=x-\frac {f(x)}{f’(x)}
   \end{cases}
   $$

9. 局部和全局收敛
   $$
   \begin{cases}
   x_{k+1}=\phi(x_k) \\
   x_0\in I\\
   {x_{k+1}}\subset I, I为\phi (x)的定义域
   \end{cases}
   $$
   $\forall x_0\in I,{x_{k+1}}={\phi(x_k)}$收敛到$x ^ * $，则称此序列为全局收敛
   $\forall x_0\in S\subset I ,{x_{k+1}}={\phi(x_k)}$收敛到$x ^ * $，则称此序列为局部收敛

10. 收敛速度：设${x_k}$收敛到$\alpha ^ * $，若存在正实数$p$满足：
    $$
    \lim \limits_{x\to \infty}|\frac {x_{k+1}-\alpha ^ * }{(x_k-\alpha^ * )^p}|=c>0
    $$
    则称收敛速度为$p$阶的

泰勒公式

微分

微分定义

0. 定义：设函数$y=f(x)$定义在$U(x_0,\delta),x_0+\Delta x\in U(x_0,\delta)$，若成立，则
   $$
   \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)
   $$
   其中$A$是与$\Delta x$无关的常数，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$可微，$A\cdot \Delta x$为函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作
   $$
   dy|_{x=x_0}=A\cdot \Delta x或df(x_0)=A\cdot \Delta x
   $$

1. 微分等价定义：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)$，去$\Delta x=x-x_0$，则
   $$
   f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0)\\
   f(x)= f(x_0)+A(x-x_0)+o(x-x_0)\\
   f(x)-f(x_0)+A(x-x_0)=o(x-x_0)
   $$
   即用线性函数逼近复杂函数

2. 可微的充要条件：函数需要在对应点可导且$A=f’(x_0)$

   注1：可微记为$dy$或$df(x)$，其为$dy=f’(x)\Delta x$

   注2：若自变量$x$的增量$\Delta x$视为自变量的微分$dx=\Delta x,df(x)=f’(x)dx$

3. 运算法则：参考导数四则运算

4. 高阶微分：记为$dx^n$，$n$为阶数，方法参考高阶导数计算

形式不变性

0. 设函数$y=f(x)$有导数$f’(x)$

   0. 若$x$是自变量时，$dy=f’(x)dx$
   1. 若$x$是中间变量，$x=\varphi (t)$

   则$dy=f’(x)\varphi’(t)dt=f’(x)\varphi’(t)dt=f’(x)dx$

   即无论$x$是自变量还是中间变量，函数$y=f(x)$的微分形式都是$dy=f’(x)dx$

1. 注：二阶以上不具备此性质

微分计算

0. 基本初等函数的微分公式：基本初等函数的导数后面乘一个$dx$
1. 四则运算法则：和导数一样

带Peano余项的泰勒公式

0. 定理：设函数$f(x)$定义在$U(x_0,\delta)$，在$x_0$点$n$阶可导，$x\in U(x_0,\delta)$，则有
   $$
   f(x)=P_n(x)+o[(x-x_0)’’]\\
   P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\
   R_n(x)=o((x-x_0)^n)
   $$
   其中第一个式子称为$f(x)$在点$x_0$的泰勒公式；$P_n(x)$为$f(x)$在$x_0$点的$n$阶泰勒多项式，而$R_n(x)$为Peano余项。其中，当$x_0=0$的时候，称第一个式子为麦克劳林（Maclaurin）公式

1. 基本初等函数的泰勒展开

   0. $e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+…+\frac {x^n}{n!}+o(x^n)$
   1. $\sin x=x-\frac {x^3}{3!}+\frac {x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…+\frac {(-1)^{n-1}x^{2n-1}\ }{(2n-1)!}+o(x^{2n})$
   2. $\cos x=1-\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}-\frac {x^6}{6!}+…+\frac {(-1)^nx^{2n}\ }{(2n)!}+o(x^{2n+1})$
   3. $\ln (1+x)=x-\frac {x^2}2+\frac {x^3}3+…+\frac {(-1^n)x^n}n+o(x^n)$
   4. $\ln (1-x)=-[x+\frac {x^2}2+\frac {x^3}3+…+\frac {x^n}n]+o(x^n)$
   5. $(1+x)^\lambda=\sum_{k=0}^nC_\lambda^kx^k+o(x^n)$
   6. SP：0. $\sqrt{x+1}=1+\frac 12x+\sum_{k=2}^n(-1)^{k-1}\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}x^k+o(x^n)$
      1. $\frac 1{1+x}=\sum_{k=0}^n(-1)^kx^k+o(x^n)$
      2. $\frac 1{1-x}=\sum_{k=0}^nx^k+o(x^n)$
      3. $\frac 1{\sqrt{1+x} }=1+\sum_{k=1}^n\frac {(-1)^k(2k-1)!!}{(2k)!!}x^k+o(x^n)$

带Lagrange余项的泰勒公式

定理：设函数$f(x)$定义在$U(x_0,\delta)$，在$x_0$点$n+1$阶可导，$x\in U(x_0,\delta)$，则有
$$
f(x)=P_n(x)+o[(x-x_0)’’]\\
P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\
R_n(x)=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi在x和x_0之间
$$
其亦可以写为
$$
f(x_0+h)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+R_n(x)\\
R_n(x)=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1}=\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta h )}{(n+1)!}h^{n+1},\theta \in (0,1)
$$
其中$\xi$介于$x_0,x_0+h$之间，且$\xi=x_0+\theta h$

其麦克劳林展开式为
$$
f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac {f’’(0)}{x!}x^2+…+\frac {f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac {f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},0<\theta<1
$$

一元函数不定积分

不定积分的定义与基本性质

0. 若存在函数$F(x),F’(x)=f(x), \forall x\in I$，则称$F(x)$为$f(x)$在集合$I$上的原函数

1. 函数$f(x)$在集合$I$上的所有原函数称为$f(x)$在集合$I$上的不定积分
   $$
   \int f ‘(x)dx=F(x)+c
   $$

2. 基本性质

   0. 若函数$f(x)$的原函数存在，则$kf(x)$存在原函数，且$\int kfdx=k\int f(x)dx,\forall k\in \mathbb R$
   1. 若函数$f(x)$和$g(x)$的原函数存在，则$f(x)\pm g(x)$存在且为$\int(f\pm g)dx=\int fdx\pm\int gdx$
   2. $\int d F(x)=F(x)+c$（微分运算和积分运算是互逆运算）

3. 积分表1：基本初等函数积分表（略）

第一类换元公式及应用

若$f(u)$在区间$I$上有原函数$F(u),\phi(x)$在$J$上可导，且${u|u=\phi(x),\forall x\in J}\subset I$，则$F(\phi(x))$是$f(\phi(x))\phi’(x)$在区间$J$上的原函数，即
$$
\int f(\phi(x))\phi’(x)=\int f(u)du=F(u)+C=F(\phi(x))+C
$$
我们称之为第一类换元公式（凑微分）

分部积分公式及应用

分部积分公式
$$
(uv)’=u’v+uv’\\
uv’=(uv)’-u’v
$$
设函数$u(x)$和$v(x)$可导，若$u’(x)v(x)$存在原函数，则$u(x)v’(x)$存在原函数，并有
$$
\int u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-\int u’(x)v(x)dx\\
\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)
$$
一般而言，存在三角函数和自然对数相关的内容时，可以考虑分部积分

第二类换元公式及应用

设$x=\psi(t)$ 是在区间$J$单调可导函数，并且$\psi’(t)\neq 0$，又$f(\psi(t))\psi’(t)$在区间$J$上存在原函数，则在$J$上有换元公式
$$
\int f(x)dx=\int f(\psi(t))\psi ‘(t)dt|_{t=\psi^{-1}(x)}
$$
其中$t=\psi^{-1}(x)$为$x=\psi(t)$的反函数

注：第一类换元是将多项凑成一项合并，而第二类换元则是将被积函数确切的进行变量替换而分解，即
$$
\int f(\psi(t))\psi ‘(t)dt|_{t=\psi^{-1}(x)}=\int f(t)dt=F(t)+C=F(\psi(t))+C
$$

有理函数的积分

0. 形如$R(x)=P(x)/Q(x)$ 的函数，称之为有理函数，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是多项式。若分子次数大于分母，则为真分式，否则为假分式，注意假分式一定可以分解为一个多项式和真分式

1. 有理函数分解定理：设$R(x)$为一个真分式，其分母为因式分解形式
   $$
   Q(x)=(x-a)^{n_1}…(x-b)^{n_k}(x^2+px+q)^{m_1}…(x^2+rx+s)^{m_l}
   $$
   其中$n_1,n_2,…,n_1,…,m_l\in \mathbb Z$，且所有二次式无实根，则

   注1：$f(x)=(x-a)^k,g(x),g(a)\neq 0$，则称$x=a$为$f(x)$的$k$重根

   注2：若$x=a$为$f(x)$的$k$重根$\Leftrightarrow f^{(i)}(a)=0,i=0,1,2,…,k-1,f^{(k)}(a)\neq 0$

   之后我们可以得到
   $$
   \begin {align}
   R(x) &=\frac {P(x)}{R(x)}\\
   & ={ \frac {A_{n_1} }{(x-a)^{n_1} }+…+\frac {A_1}{(x-a)} }\\
   &+ \ ……\ +\\
   &{ \frac {B_{n_k} }{(x-b)^{n_k} }+…+ \frac {B_1}{(x-b)} }+\\
   &{ \frac {K_{m_1}x+L_m}{(x^2+px+q)^{m_1} }+…+\frac {K_1x+L_1}{(x^2+px+q} }\\
   &+\ ……\ +\\
   &{ \frac {M_{m_l}x+N_m}{(x^2+rx+s)^{m_l} }+…+\frac {M_1x+N_1}{(x^2+rx+s)} }
   \end{align}
   $$
   这些系数只能通过待定系数法确定。

2. 解决方法

   0. 若假分式，则分解为多项式和真分式之和

   1. 对真分式分解

   2. 真分式分解后分别进行积分，其中
      $$
      \int\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}dx
      $$
      可以利用下述递推公式
      $$
      \begin{cases}
      B_{k+1}=\frac u{[u^2+a^2]^k(2ka^2)}+\frac{2k+1}{2ka^2}B_k\\
      B_1=\int \frac{du}{[u^2+a^2]}=\frac 1a \arctan \frac ua+c
      \end{cases}
      $$

有理三角函数的不定积分

0. 定义：$\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^na_{ij}x^iy^j$为关于$x,y$的二元多项式；若$R(x,y)$为两个二元多项式的商，则
   $$
   R(x,y)=\frac {\displaystyle\sum_{i=0}^m\displaystyle\sum_{j=0}^na_{ij}x^iy^j}{\displaystyle\sum_{i=0}^k\displaystyle\sum_{j=0}^lb_{ij}x^iy^j}
   $$
   称之为二元有理函数。

1. 将二元函数的$x,y$分别换为$\sin x, \cos x$，则有$R(\sin x,\cos x))$类型的积分，即万能代换：

   令$t=\tan \frac x2,\cos x=\frac {1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac {2t}{1+t^2},dx=\frac 2{1+t^2}dt $，则可以将此类积分转化为有理函数的不定积分

无理根式的不定积分

形如$R(x,\sqrt[n]{\frac {ax+b}{cx+d} })$类型的的不定积分：使用$t$换元整个根式，转化为有理函数积分；当有多个根式的时候，去根号时的次数为多个根式次数的最小公倍数

一元函数定积分

定积分的定义与性质

定积分概念的物理背景

0. 求曲边梯形的面积：用矩形面积近似取代曲边梯形面积——小矩形越多，误差越小，但是总是有误差；
1. 求变速直线运动的路程：分为多个时间段之和
2. 一般处理办法：将区间分割为多个小的子区间->求累加和->取极限（闭区间套思想，逐步逼近）

定积分的数学定义

定义：设$f(x)$在$[a,b]$上有定义，存在实数$I$，对于任意$\varepsilon >0$，存在$\delta>0$，使得任意分割$\pi:x_0=a<x_1<x_2<…<x_n=b$，当当前分割的细度$|\pi|=\max\limits_{1\leq i\leq n}(\Delta x_i)<\delta$，且$\Delta x_i-x_{i-1}$时，对任意$\xi\in [x_{i-1},x_i]$有
$$
|\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-I|<\varepsilon
$$
称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，$I$为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分或者黎曼积分，记为$\int_a^bf(x)dx=I$

注1：定义中的$\xi_i$为对应区间$[x_{i-1},x_i]$的任一一点

注2：$\varepsilon-\delta$描述：$\lim\limits_{|\pi\to 0|}\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=I$，与函数的极限$\lim \limits_{x\to a}f(x)$不同

注3：定积分的大小和自变量的选取无关

注4：积分上下限交换，定积分符号改变

注5：设两个函数$f(x),g(x)$，若两个函数在同一区间内有有限点不同，且均可积分，则两函数在该区间各自的定积分相等（证明略）

定积分的几何意义

曲边梯形的代数面积（在$x$下方为负，上方为正）

定积分的基本性质

假设两个函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$内均可积

0. 线性性质：对于任意实数$\alpha，\beta$，有
   $$
   \int_a^b(\alpha f(x)\pm \beta g(x))dx=\alpha\int_a^bf(x)dx\pm\beta\int_a^bg(x)dx
   $$

1. 保序性：若对于任意$x\in [a,b]$，$f(x)\leq g(x)$，则
   $$
   \int _a^bf(x)dx\leq\int _a^bg(x)dx
   $$
   特别的，若$\forall x\in [a,b],f(x)\geq 0$，则
   $$
   \int _a^bf(x)dx\geq0
   $$

2. 积分中值定理：在可积的基础上保证对应区间连续，则
   $$
   \exists \theta \in [a,b]:\int_a^bf(x)dx=f(\theta)(b-a)
   $$
   证明方法使用介质定理和一致连续最大最小值相关

积分不等式

注：在下列式子中，所有的符号都是保证了可积

0. Cauchy-Schwarz不等式
   $$
   \left(\int_a^bf(x)g(x)dx\right)^2\leq\int_a^bf(x)dx\cdot\int_a^bg^2(x)dx
   $$

1. Minkowski不等式
   $$
   \left( \int_a^b[f(x)+g(x)]^2dx\right)^{\frac 12}\leq\left( \int_a^bf^2(x)dx\right)^\frac12+\left( \int_a^bg^2(x)dx\right)^\frac12
   $$

定积分存在定理

函数的可积性理论

0. 定义1：可积的必要条件——函数$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上有界。（反例，狄利克雷函数）

1. 达布上和和达布下和：设$f(x)$在$[a,b]$上有界，则在区间内的一个分割$\pi:x_0=a<x_1<x_2<…x_n=b$，定义和式
   $$
   \mathop{S}^\limits-(\pi,f)=\displaystyle\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})\\
   \mathop{S}\limits-(\pi,f)=\displaystyle\sum{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})
   $$
   这里的$M_i,m_i$分别为$f(x)$在$[x_{i-1},x_i]$上的上确界和下确界，则两个和式分别称为函数$f(x)$对应分割$\pi$的达布上和和达布下和

   推论1：在前述条件下有
   $$
   m(b-a)\leq\mathop{S}\limits_-(\pi,f)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\leq\mathop{S}\limits^-(\pi,f)\leq M(b-a)
   $$
   $m,M$别为为$f(x)$在区间$[a,b]$内的下确界和上确界

2. 定理2：设$f(x)$在$[a,b]$上有界，在$[a,b]$上有两个分割$\pi,\pi’$，其中$\pi’$为$\pi$基础上多加了$k$个新分店的加密分割，则
   $$
   \mathop{S}^\limits-(\pi,f)\geq\mathop{S}^\limits-(\pi’,f)\geq\mathop{S}^\limits-(\pi,f)-k\omega||\pi||\\
   \mathop{S}_\limits-(\pi,f)\leq\mathop{S}_\limits-(\pi’,f)\leq\mathop{S}_\limits-(\pi,f)+k\omega||\pi||
   $$
   其中$\omega=M-m,M,m$分别是$f$在$[a,b]$上的上下确界。

   而随着分割的加密，达布上和单调递减，而达布下和单调递增。

   推论2：设$f(x)$在$[a,b]$内有界，对于任意两个分割$\pi’，\pi$，成立
   $$
   m(b-a)\leq\mathop{S}\limits_-(\pi,f)\leq\mathop{S}\limits^-(\pi’,f)\leq M(b-a)
   $$
   其中$m=\inf\limits_{x\in[a,b]}f(x),M=\sup\limits_{x\in[a,b]}f(x)$

3. 定义2：设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，令
   $$
   \mathop{I} \limits ^ - = \inf\left {\mathop{S}\limits ^ - ( \pi,f ) | \forall \pi 为[a,b]上的一个分割 \right }（1）\\
   \mathop{I} \limits _ - = \sup\left {\mathop{S}\limits _ - ( \pi,f ) | \forall \pi 为[a,b]上的一个分割 \right }（2）
   $$
   称$\mathop{I}\limits ^ - $为$f(x)$在$[a,b]$上的上积分，而$\mathop{I}\limits_-$为$f(x)$在$[a,b]$上的下积分（补充，极限也有上极限和下极限，今后有空会补充上来）

4. 定理3（达布定理）对于$f(x)$在$[a,b]$有界函数，则有
   $$
   \lim\limits_{||\pi||\to0}\mathop{S}\limits^-(\pi,f)=\mathop{I}\limits^-\\
   \lim\limits_{||\pi||\to0}\mathop{S}\limits_-(\pi,f)=\mathop{I}\limits_-
   $$
   证明方法使用上下确界定义和定理2的共同使用

5. 定理4：函数$f(x)$在$[a,b]$内有界，则在此区间内可积的充要条件为上、下积分相等

等价定理

设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，下列命题等价

0. $f(x)$在$[a,b]$内可积；

1. 上积分和下积分相等；

2. 对于区间$[a,b]$的任意一个分割$\pi$
   $$
   \lim\limits_{||\pi||\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^n\omega_i(x_i-x_{i-1})=0
   $$

3. 对于区间$[a,b]$的任意一个分割$\pi$，对于任意$\varepsilon>0$有
   $$
   \displaystyle\sum_{i=1}^n\omega_i(x_i-x_{i-1})<\varepsilon
   $$

4. 对于区间$[a,b]$的任意一个分割$\pi$，对于任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$有，当$||\pi||<\delta$
   $$
   \displaystyle\sum_{i=1}^n\omega_i(x_i-x_{i-1})<\varepsilon
   $$
   注：上述中的$\omega_i=M_i-m_i$，为$f(x)$在区间$[x_{i-1},x_i]$上的振幅（$M,m$分别为区间内的上确界和下确界）

绝对可积（此处部分内容缺失，后续补上）

若函数$f(x)$在区间$[a,b]$内可积，则$|f|$也在$[a,b]$内可积，且
$$
|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx
$$
注意此定理的逆命题是不成立的

可积函数类

0. 一些前言：设$f(x)$在$[a,b]$内有界，存在点列${a_n}\in[a,b],\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c,{a_n}$为$f(x)$的间断点，则$f(x)$在$[a,b]$上可积，证明暂略。
1. 定理：函数$f(x)$在$[a,b]$上有界，则可积的充要条件为：$\forall\varepsilon>0,\eta>0$，总存在分割$T$，使得属于$T$的所有小区间中，对于振幅$\omega_{k’}\geq\varepsilon$的对应分割区间长度总和$\sum_{k’}\Delta x_{k’}<\eta$
2. 定理：函数$f(x)$在$[a,b]$上为单调有界函数，则函数在区间内可积
3. 定理：函数$f(x)$在$[a,b]$上连续（因为连续，所以一致连续），则函数在区间内可积
4. 推论：函数$f(x)$在$[a,b]$上有界且有有限个间断点，函数在区间内可积

微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式

牛顿莱布尼茨公式

若$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$内的一个原函数，则
$$
\int _a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
$$

变上限函数的连续和可导

0. 变上限函数：$f\in \mathbb R[a,b]$（$[a,b]$上可积函数的集合），$\forall x\in[a,b]$，定义
   $$
   F(x)=\int _a^xf(t)dt
   $$

1. 定理1：若$f\in \mathbb R[a,b]$，则$F(x)\in C[a,b]$

2. 定理2：若$f(t)$在$[a,b]$上连续，则变上限积分函数$F(x)=\int _a^xf(t)dt$在$[a,b]$上可导，且
   $$
   F’(x)=\frac {d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)(a\leq x\leq b)
   $$

3. 推论1：设$f(x)\in C[a,b]$，且$\phi(x)$在$[a,b]$上可导，且当$x\in [a,b]，a\leq\phi(x)\leq b$，令
   $$
   F(x)=\int_a^{\phi(x)}f(t)dt,x\in[a,b]
   $$
   则有
   $$
   \frac {dF}{dx}=f(\phi(x))\phi’(x),x\in [a,b]\frac {dF}{dx}=f(\phi(x))\phi’(x),x\in [a,b]
   $$

4. 推论2：设$f(x)\in C[a,b]$，且$\phi(x)$在$[a,b]$上可导，且当$x\in [a,b],a\leq\phi(x)\leq b$，令
   $$
   F(x)=\int_{\phi(x)}^af(t)dt,x\in[a,b]
   $$
   则有
   $$
   \frac {dF}{dx}=-f(\phi(x))\phi’(x),x\in [a,b]
   $$

5. 推论3：设$f(x)\in C[a,b]$，且$\phi_1(x), \phi_2(x)$在$[a,b]$上可导，且当$x\in [a,b],a\leq\phi_1(x)\leq b, a\leq\phi_2(x)\leq b$，令
   $$
   F(x)=\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt,x\in[a,b]
   $$
   则有
   $$
   \frac {dF}{dx}=f(\phi_2(x))\phi_2’(x)-f(\phi_1(x))\phi_1’(x),x\in [a,b]
   $$

6. 原函数存在定理：若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则变上限积分函数$F(x)=\int_a^xf(t)dt$就是$f(x)$在$[a,b]$内的一个原函数

定积分的计算

定积分的计算方法基本和不定积分计算一致，但是需要带入上下限计算数值。

泰勒公式的积分余项

设$f(x)$在$(a,b)$上有直到$n+1$阶的连续导数，对于任意$x_0\in(a,b)$，有
$$
f(x)=\displaystyle\sum_{t=0}^n\frac {f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\\
R_n(x)=\frac 1{n!}\int_{x_0}^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt,x\in(a,b)
$$
则称$R(x)$为泰勒公式的积分余项

定积分的换元

注意还原过程中，需要保证变换前后的一致性。

推论1：当$f(x)$在$[-a,a]$上连续，则有

0. $f(x)$为偶函数，则$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
1. $f(x)$为奇函数则$\int_{-a}^af(x)dx=0$

推论2：当$f(x)$为周期为$T$的连续函数，则
$$
\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx
$$

一些有用的公式（后续会补充）

0. 华莱士公式
   $$
   I_n=\int_0^{\frac \pi2}\sin^nxdx=
   \begin{cases}
   \frac {n-1}n\cdot\frac{n-1}{n-2}\cdot…\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac \pi2，n为偶数\\
   \frac {n-1}n\cdot\frac {n-3}{n-2}\cdot…\cdot\frac 45\cdot\frac 23，n为奇数
   \end{cases}
   $$

1. 三角函数相关公式
   $$
   \int_0^{\frac \pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac \pi2}f(\cos x)dx\\
   \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac \pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx
   $$

积分中值定理

积分第一中值定理

假设$f(x),g(x)$在$[a,b]$内连续，$g(x)$在对应区间内不变号，则存在$\theta\in[a,b]$满足
$$
\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\theta)\int_a^bg(x)dx
$$

积分第二中值定理

假设$f(x),g(x)$在$[a,b]$内可积

0. 若函数$g$在$[a,b]$上非负递减，则
   $$
   \exists\xi\in[a,b]:\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx
   $$

1. 若函数$g$在$[a,b]$上非负递增，则
   $$
   \exists\xi\in[a,b]:\int_a^bf(x)g(x)dx=g(b)\int_\xi^bf(x)dx
   $$

积分第三中值定理

假设$f(x),g(x)$在$[a,b]$内可积，$g$为单调函数，则$\exists\xi\in[a,b]$，使得
$$
\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx
$$

勒贝格定理

0. 零测集：设$A$为实数集，$\forall \varepsilon>0$，存在至多可数的一列开区间${I_n,n\in\mathbb N^ * }$，它是$A$的一个开覆盖，并且$\sum_{n=1}^\infty|I_n|\leq \varepsilon$，则称$A$为零测度集

1. 零测集性质

   0. 至多可数个零测集的并为零测集
   1. 设$A$为零测集，若$B\subset A$，则$B$也为零测集
   2. 实数域内的有理数集合是零测集，无理数集合不是零测集

2. 勒贝格定理：假设$f(x)$在$[a,b]$内有界，$f(x)$在$[a,b]$内黎曼可积的充要条件为$D(f)$为一零测集。

   其中：$D(f)={x\in[a,b]:f在x处不连续}$

3. 推论：

   0. 若$f$在$[a,b]$内可积且不为$0$，则$1/f$在$[a,b]$内可积；
   1. 若$f(x),g(x)$在$[a,b]$内可积，则$fg$在$[a,b]$内可积；
   2. 如果$f$在$[a,b]$内可积，则$f$在任意子区间内均可积；
   3. 若$f(x),g(x)$在$[a,b]$内可积且$g$不为0，则$f/g$在区间内可积；
   4. 若$f$在$[a,b]$内连续，$\phi$在$[\alpha,\beta]$内可积，$a\leq\phi(t)\leq b,t\in[\alpha,\beta]$，则$f\circ g$在$[\alpha,\beta]$内可积；
   5. 关于（4）的注：若$f$在$[a,b]$内可积，其复合后在$[a,b]$内不一定可积。

定积分的应用

定积分解决问题的通用方法：微元分析法。

直角坐标系下图形面积

0. 假设平面图形如下定义
   $$
   D=\left{(x,y) | g(x)\leq y\leq f(x),a\leq x\leq b\right }
   $$
   其中$f(x),g(x)$为$[a,b]$上的连续曲线，则面积的求法为
   $$
   dS\approx(f(x)-g(x))dx\\
   S=\int_a^b(f(x)-g(x))dx
   $$
   我们称之为X型区域：平行于$y$轴的直线穿过区域与区域边界至多有两个交点

1. 假设平面图形如下定义
   $$
   D=\left{(x,y) | g(x)\leq x\leq f(x),c\leq y\leq d\right }
   $$
   其中$f(y),g(y)$为$[c,d]$上的连续曲线，则面积的求法为
   $$
   dS\approx(f(y)-g(y))dy\\
   S=\int_c^d(f(y)-g(y))dy
   $$
   我们称之为Y型区域：平行于$$轴的直线穿过区域与区域边界至多有两个交点

2. 一般的平面图形均可以分解为若干个X和Y型的图形面积之和

参数方程下曲线围成平面图形面积

0. 定理1：设曲线$C$由参数方程
   $$
   \begin{cases}
   x=u(t)\\
   y=v(t)
   \end{cases}
   t\in[\alpha,\beta]
   $$
   满足下列条件的：

   0. 当$t\in[\alpha,\beta]，u(t)$导函数连续且严格单调
   1. $v(t)$在$t\in[\alpha,\beta]$上连续
   2. $a=u(\alpha),b=u(\beta)$（$a<b$或$b<a$）

   则有曲线$C$及直线$x=a,x=b$和$x$轴所围成的图形面积
   $$
   A=\int_\alpha^\beta|y(t)x’(t)|dt=\int_\alpha^\beta|v(t)u’(t)|dt
   $$

1. 定理2：设平面图形$S$的边界曲线$\gamma$由参数方程
   $$
   \begin{cases}
   x=x(t)\\
   y=y(t)
   \end{cases}
   t\in[\alpha,\beta]
   $$
   给出，其中$x(\alpha)=x(\beta)$，$y(\alpha)=y(\beta)$，曲线$\gamma$除了端点重合外再无自交点，给定$x’(t)，y’(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上存在且连续，则由曲线自身所围成图形的面积为
   $$
   A=\left|\int_\alpha^\beta y(t)x’(t)dt\right|或A=\left|\int_\alpha^\beta x(t)y’(t)dt\right|
   $$

极坐标下平面图形面积

设由曲线$r=r(\theta)$及射线$\theta=\alpha,\theta=\beta$围成的一曲边扇形，其面积微元为
$$
dA=\frac 12[r(\theta)]^2d\theta
$$
即其曲边扇形面积为
$$
A=\int_a^\beta\frac12[r(\theta)]^2d\theta
$$

旋转曲面的面积

由连续导函数曲线$y=f(x),a\leq x\leq b, |f(x)\geq0|$绕$x$轴所得的面积微元为
$$
dS=2\pi f(x)\sqrt{1+[f’(x)]^2}dx
$$
故其总的面积为
$$
S=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+[f’(x)]^2}dx
$$
如果是关于某一条斜的直线$y=mx+b$的旋转面面积，则为
$$
S=\frac {2\pi}{\sqrt{1+m^2}}\int_p^q[|f(x)-mx-b]|\sqrt{1+f’(x)^2}dx
$$

旋转体的体积

设截面面积$A(x)$是$[a,b]$上的连续函数，其体积微元$dV=A(x)dx$，其的体积为
$$
V=\int_a^bA(x)dx
$$
而设连续曲线$y=f(x)(x\in[a,b])$绕$x$轴旋转一周的体积为
$$
V=\int_a^b\pi[f(x)]^2dx
$$
柱面法求体积，设连续曲线$y=f(x)(x\in[a,b])$绕$y$轴旋转一周的体积为
$$
V=\int_a^b2\pi xf(x)dx
$$

曲线的弧长

0. 定义：光滑曲线，设
   $$
   \begin{cases}
   x=x(t)\\
   y=y(t)
   \end{cases}
   \alpha \leq t\leq \beta
   $$
   且$x’(t),y’(t)$在$[\alpha,\beta]$内连续，且$(x’(t))^2+(y’(t))^2\neq 0,t\in[\alpha,\beta]$

   则称上述参数方程的图像为光滑曲线

1. 曲线弧长：设
   $$
   \begin{cases}
   x=x(t)\\
   y=y(t)
   \end{cases}
   \alpha \leq t\leq \beta
   $$
   为光滑曲线，则其长度可求且为
   $$
   s=\int_\alpha^\beta\sqrt{(x’(t))^2+(y’(t))^2}dt
   $$
   若为直角坐标系下的情况，我们可以得到
   $$
   s=\int_\alpha^\beta\sqrt{(1+f’(x))^2}dx
   $$
   或者
   $$
   s=\int_\alpha^\beta\sqrt{(1+f’(y))^2}dy
   $$
   在极坐标系下，我们可以得到
   $$
   s=\int_\alpha^\beta\sqrt{(r(\theta))^2+(r’(\theta))^2}d\theta
   $$

物理应用之变力做功

0. 在时间段$[a,b]$内的力$F(x)$满足所做的功
   $$
   W=\int_a^bF(x)dx
   $$

1. 液体的压力与压强：在水深$h$处的压强为$p=\gamma h$，而平板一侧的水压力为$P=p\cdot A$

物理应用之引力问题

基本物理公式——万有引力
$$
F=k\frac {m_1m_2}{r^2}
$$

物理应用之力矩和质心

0. 质心：任意形状薄板的质心指的是可以达到平衡的点

1. 质心的坐标：物体的总力矩除以总质量，在此处考虑均匀密度为$\rho$，位于区域${(x,y)|a\leq x\leq b,0,\leq y\leq f(x)}$的薄板
   $$
   \mathop{x}^-=\frac {\int_a^bxf(x)dx}{\int_a^bf(x)dx},\mathop{y}^-=\frac {\int_a^b\frac 12[f(x)]^2dx}{\int_a^bf(x)dx}
   $$

广义积分

无穷积分的定义和计算

（排版原因所以这一节部分地方不是从0开始的）

0. 定义：

   1. 设函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上有定义，对于任何$A>a$，$f(x)$在$[a,A]$上黎曼可积，若
      $$
      \lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx=M
      $$
      称$M$为$f(x)$在$[a,+\infty)$上的无穷积分，若
      $$
      \lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx=\int_a^{+\infty}f(x)dx
      $$
      则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，否则发散

   2. 设函数$f(x)$在$(-\infty,b]$上有定义，对于任何$u<b$，$f(x)$在$[u,b]$上黎曼可积，若
      $$
      \lim\limits_{u\to-\infty}\int_u^bf(x)dx=L
      $$
      称$L$为$f(x)$在上的$(-\infty,b]$无穷积分，若
      $$
      \lim\limits_{u\to-\infty}\int_u^bf(x)dx=\int_{-\infty}^bf(x)dx
      $$
      则$\int_{-\infty}^bf(x)dx$收敛，否则发散

   3. 设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有定义，对于任何$a\in\mathbb R$，$\int_{-\infty}^af(x)dx$，$\int_a^{+\infty}f(x)dx$均收敛时，称$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$的积分收敛，且
      $$
      \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^af(x)dx+\int_a^{+\infty}f(x)dx
      $$
      （不依赖于$a$），当两个积分存在至少一个发散的时候，称$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$的积分发散

1. 性质

   1. ：当$\int_a^{+\infty}f_1(x)dx$，$\int_a^{+\infty}f_2(x)dx$均收敛，且$k_1,k_2\in\mathbb R$时，有
      $$
      \int_a^{+\infty}k_1f_1(x)+k_2f_2(x)dx
      $$
      成立，且
      $$
      \int_a^{+\infty}k_1f_1(x)+k_2f_2(x)dx=k_1\int_a^{+\infty}f_1(x)dx+k_2\int_a^{+\infty}f_2(x)dx
      $$

   2. 设函数$f(x)$在任何有限区间$[a,u]$内可积，则$\forall b>a$有$\int_a^{+\infty}f(x)dx$和$\int_b^{+\infty}f(x)dx$有相同的敛散性

   3. 注：收敛的无穷积分+发散的无穷积分=发散的无穷积分（定义3）

2. 无穷积分的计算=定积分+极限

   定理：无穷积分计算

   0. 若$f(x)$是定义在$[a,+\infty)$上且具有原函数$F(x)$，$f(x)$在$[a,b](\forall b>a)$内可积，则
      $$
      \int_a^{+\infty}f(x)dx=F(+\infty)-F(a)
      $$

   1. 若$f(x)$是定义在$(-\infty,b]$上且具有原函数$F(x)$，$f(x)$在$[a,b](\forall b>a)$内可积，则
      $$
      \int_{-\infty}^af(x)dx=F(a)-F(-\infty)
      $$

   2. 若$f(x)$是定义在上$(-\infty,+\infty)$且具有原函数$F(x)$，$f(x)$在$[a,b](\forall a,b\in \mathbb R)$内可积，则
      $$
      \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(+\infty)-F(-\infty)
      $$

   3. 上述中$F(+\infty)=\lim \limits_{x\to +\infty}F(x)$，$F(-\infty)=\lim \limits_{x\to -\infty}F(x)$

无穷区间上非负函数的积分

0. 定理1：设在$[a,+\infty)$上$f(x)\geq 0$，对任何$b>a$，$f(x)$在$[a,b]$内可积，则
   $$
   \int_a^{+\infty}f(x)dx收敛\Leftrightarrow F(A)=\int_a^Af(x)dx在[a,+\infty)上有界
   $$

1. 定理2：设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty)$上有定义，对任何$b>a，f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积，若$\exists M>a$，当$x>M$时有$0\leq f(x)\leq g(x)$，有下面结论成立：

   0. 若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$收敛$\Rightarrow \int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛
   1. 若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$发散$\Rightarrow \int_a^{+\infty}f(x)dx$发散

2. 定理3（比较判别法极限形式）：设$f(x),g(x)$是定义在$[a,+\infty)$上的非负函数，对任何$b>a$有$f(x),g(x)$在$[a,b]$内可积，且有$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)/g(x)=l$，则有下列结论

   0. 若$0<l<+\infty$，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$与$\int_a^{+\infty}g(x)dx$具有相同的敛散性
   1. 若$l=0$，若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛
   2. 若$l=+\infty$，若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$发散

3. 通常选用的比较对象为
   $$
   \int_a^{+\infty}\frac 1{x^p}dx和\int_a^{+\infty}\frac 1{x(\ln x)^p}dx(a>0)
   $$
   当$p>1$收敛，$p\leq 1$发散

无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定

0. 无穷积分收敛的柯西定理：设函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上有定义，对于任何$A>a$，函数$f(x)$在$[a,A]$上黎曼可积，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛的充要条件是
   $$
   \forall \varepsilon>0,\exists M>0,\forall u_1>u_2>M:|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\varepsilon
   $$

1. 推论：设函数$f(x)$在$[a,A](\forall A\in \mathbb R,A>a)$上黎曼可积，且$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛且有$|\int_a^{+\infty}f(x)dx|\leq \int_a^{+\infty}|f(x)|dx$

2. 定义：当$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$收敛时，称$\int_a^{+\infty}f(x)dx$为绝对收敛，而$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛但$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$，则称$\int_a^{+\infty}f(x)dx$是条件收敛

3. 无穷积分的狄利克雷定理：设$f(x)$和$g(x)$满足下面两个条件

   0. $F(A)=\int_a^Af(x)dx$在$(a,+\infty)$上有界
   1. $g(x)$在$[a,+\infty)$上单调，且$\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=0$

   则有$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛

4. 无穷积分的阿贝尔定理：设$f(x)$和$g(x)$满足下面两个条件

   0. $\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛
   1. $g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界

   则有$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛

瑕积分的定义与收敛

0. 定义：设$f(x)$在区间$(a,b]$上有定义，在点$a$的任何右邻域无界，对于$\forall \varepsilon \in (0,b-a)$，$f(x)$在$[a+\varepsilon,b]$上可积，若$\lim\limits_{\varepsilon\to0+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx$存在，则称此极限为$f(x)$在$(a,b]$上的瑕积分记为
   $$
   \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to+0}\int_{a+\varepsilon}^bf(d)dx
   $$
   这是也称瑕积分收敛，$a$称为瑕点，当极限不存在的时候，称瑕积分发散（左闭右开区间，开区间同理同理，但是开区间需要两个极限同时存在）

1. 性质：参考无穷积分，都是一致的

2. 收敛性质：也参考无穷积分

3. 比较判别法常用比较积分
   $$
   \int_a^b\frac {dx}{(x-a)^p},\int_a^B\frac{dx}{(x-b)^p}\Rightarrow
   \begin{cases}
   p<1收敛\\
   p\geq1发散
   \end{cases}
   $$

4. 柯西定理：若函数$f(x)$在$(a,b]$上有定义，$a$为瑕点，$\forall \varepsilon >0$，$f(x)$在$[a+\varepsilon,b]$上可积，则$\int_a^bf(x)dx$收敛的充要条件是
   $$
   \forall \varepsilon >0,\exists\delta>0，\forall a<u_1<u_2<a+\delta:|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\varepsilon
   $$

5. 绝对收敛：若函数$f(x)$在$(a,b]$上有定义，$a$为瑕点，若$\int_a^b|f(x)|dx$收敛，则$\int_a^bf(x)dx$也收敛，且$|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx$

数项级数

数项级数的收敛性

数项级数的定义和性质

0. 定义：设${a_n}$是任意一个实数列，称形如$s=a_1+a_2+a_3+…$为无穷数值的级数，简称数项级数，记为
   $$
   \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n
   $$

1. 称下面公式为级数第$n$个部分和，则${S_n}$为级数的部分和序列
   $$
   S_n=a_1+a_2+…+a_n
   $$

2. 若$\lim\limits_{n\to \infty}S_n=S$存在，则称级数收敛，且定义$S$为级数的和，$S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$；若其不存在，则称级数发散

3. 定理1：若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，则$\lim\limits_{x\to \infty}a_n=0$

   推论 ：若$\lim\limits_{x\to \infty}a_n=0$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散

4. 定理2：若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$均收敛，则关于$a_n,b_n$的线性组合也收敛，且
   $$
   \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \lambda a_n+\mu b_n=\lambda\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n+\mu\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n
   $$

5. 定理3：对于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$，增删有限项不改变级数敛散性

6. 定理4：若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，则任意加括号（但是不改变级数项的顺序）所形成的新级数也收敛且和不变（其实质是加法结合律的推广）

7. 数列收敛的柯西定理：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛的充要条件为
   $$
   \forall \varepsilon >0 , \exists N(\varepsilon)\in \mathbb N^,n>N,\forall p \in \mathbb N^:|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k|<\varepsilon
   $$

8. 若级数绝对收敛（$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|$），则原级数收敛（$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$）

正项级数的判别

0. 定义：对于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,a_n\geq 0,n\in I$，则称级数为正项级数
1. 定理1：正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛的充要条件为部分和序列${S_n}$有界

比较判别法

0. 比较判别法定理：设$\exists N,n>N,0\leq a_n\leq b_n $，则若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$收敛，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛；若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$发散
1. 比较判别法的极限形式，对于两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$，若$\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\frac {a_n}{b_n}=l$，则
   0. 若$l\in(0,+\infty)$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$同敛散
   1. 若$l=0$且$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$收敛，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   2. 若$l=+\infty$且$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$发散，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
2. 常用级数：等比级数，$p$级数

（柯西）积分判别法

0. 设$x\geq1,f(x)\geq0$且单调递减，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)$与无穷积分$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$具有相同的敛散性
1. 常用结论：$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac1{n(\ln n)^p} $在$p>1$收敛，在$p\leq 1$时发散

柯西判别法

0. 设$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$为正项级数，则
   0. 若存在$0<q<1$，使得当$n>N$时有$\sqrt[n]{a_n}\leq q<1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 若对于无穷多个$n$，有$\sqrt[n]{a_n}\geq 1 $，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
1. 柯西判别法的极限形式：设$a_n\geq 0$且$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=q$，则
   0. 当$q<1$有$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 当$q>1$有$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散

达朗贝尔（D’Alembert）判别法（阶乘）

0. 引理：设$a_n>0,b_n>0$，且$\exists n_0$，当$n\geq n_0$有$\displaystyle\frac {a_{n+1} }{a_N}\leq\displaystyle\frac{b_{n+1} }{b_n}$则
   0. 若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$收敛，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$发散
1. 定理1：达朗贝尔判别法（比值判别法）：设$a_n>0,n\in I$
   0. 若存在$0<q<1$，使得当$n\geq n_0$时，有$\displaystyle\frac {a_{n+1} }{a_n}\leq q\leq 1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 当$n\geq n_0$有$\displaystyle\frac {a_{n+1} }{a_n}\geq 1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
2. 达朗贝尔判别法的极限形式：设$a_n>0,n\in I$
   0. 若$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\displaystyle\frac{a_{n+1} }{a_n}=q<1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 若$\lim\limits_{n\to\infty}\inf\displaystyle\frac{a_{n+1} }{a_n}=q’>1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
3. 达朗贝尔判别法的上下极限形式：设$a_n>0,n\in I$
   0. 若$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1} }{a_n}=q<1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 若$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{a_{n+1} }{a_n}=q’>1$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
4. 达朗贝尔判别法适合级数通项带有阶乘的形式

拉贝（Rabble）判别法（与$p$级数相比）

0. 定理1：拉贝判别法：设$a_n>0,n\in I$
   0. 存在$r>1,N_0\in \mathbb N ^ * $，当$n>N_0$时有$n(\displaystyle\frac {a_n}{a_{n+1} })\geq r\geq 1$，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
   1. 若存在$N_0\in \mathbb N ^ * $，当$n>N_0$时有$n(\displaystyle\frac {a_n}{a_{n+1} })\leq 1$，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散n+1
1. 拉贝判别法的极限形式（定理2）：$a_n>0,n\in I$，若$\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1} }=1+\frac ln+o(\frac 1n)(n\to \infty)$，则当$l>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，$l<1$时级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$发散
2. 定理3：任给一个收敛的正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$，可以构造另外一个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$，使得级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$收敛，且$\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\frac {a_n} {b_n}=0$
3. 即没有最好的正项级数判断方法：一般来说是先判断通项的极限，然后使用比较/达朗贝尔/柯西判别法，若不成功使用拉贝判别法，再不成功则使用柯西积分判别或者其他判别法

一般级数的收敛（交错级数）

0. 定义：若级数满足$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n,a_n\geq0,n\in I$，则称此级数为交错级数

1. 莱布尼茨判别法：设交错级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n，a_n\geq 0$，若${a_n}$递减趋近于0，则该级数收敛。

2. 引理（分部求和公式）：设${a_n},{b_n}$是两个实数列，则对于任意正整数$n$有
   $$
   S_k=a_1+a_2+…+a_k,S_0=0
   $$
   则
   $$
   \displaystyle\sum_{k=1}^n a_kb_k=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n
   $$

3. 阿贝尔引理：设${b_n}$是单调数列，$S_k=a_1+a_2+…+a_k$，若$|S_k|\leq M,k=0,1,…,n$，则有
   $$
   |\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kb_k|\leq M(|b_1|+2|b_n|)
   $$

4. 狄利克雷判别法：设${a_n},{b_n}$是两个实数列，则对于任意正整数$n$有$S_k=a_1+a_2+…+a_k$，若满足

   0. ${b_n}$是单调数列且$\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$
   1. ${S_k}$有界

   则有$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_kb_k$收敛

5. 阿贝尔判别法：设${a_n},{b_n}$是两个实数列且满足

   0. ${b_n}$是单调有界
   1. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛

   则有$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_kb_k$收敛

绝对收敛和条件收敛

0. 绝对收敛：级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛
1. 条件收敛：级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|$发散
2. 绝对收敛$ \pm $绝对收敛=绝对收敛，绝对收敛$\pm$条件收敛=条件收敛
3. 注意联系无穷积分和级数之间的关系（研究方法和研究结论极其相似）

绝对收敛级数的性质

0. 更序定理：设$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$绝对收敛，则无穷次交换$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$的次序得到$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$其也绝对收敛且和不变
1. 黎曼更序定理：设$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$条件收敛，则适当交换各项的次序得到的新级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$可以收敛到任意指定实数$S$，也可以发散到正负无穷

级数的乘法

0. 设级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$，其乘积与级数的顺序有关，则柯西乘积的方法为
   $$
   (\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n)(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty c_k，其中c_k=\displaystyle\sum_{i+j=k+1}a_ib_j=\displaystyle\sum_{i=1}^ka_ib_{k+1-i}
   $$

1. 默滕斯（Mertens）定理：设级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=A$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n=B$，且至少有一个级数绝对收敛，则其柯西乘积也收敛且
   $$
   (\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n)(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n
   $$

2. 柯西定理：设级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=A$和$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n=B$，且均绝对收敛，则把$a_ib_j(i,j\in I)$按照任意方式相加得到的技术都是绝对收敛，且其和为$AB$

3. 总结

   0. 绝对收敛级数 $ * $ 绝对收敛级数 = 可以按照任意方式乘积组合 = AB
   1. 绝对收敛级数 $ * $ 条件收敛级数 = 柯西乘积 = AB
   2. 条件收敛级数 $ * $ 条件收敛级数 = 不一定收敛

无穷乘积

0. 定义1：设$p_1,p_2,…,p_n,…$是无穷可列个实数，定义其乘积为
   $$
   p_1p_2…p_n…=\prod_{n=1}^{\infty}p_n
   $$

1. 定义2：定义无穷乘积$p_1p_2…p_n…$的部分积序列为$W_i=p_1p_2…p_i，i=1,2,…,n,…$，若序列${W_i}$的极限存在且不为零，则称$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$是收敛的，且$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n=\lim\limits_{i\to\infty}W_i=W$，否则若对应的极限不存在或者为0，则称$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$为发散的。

2. 性质1：若无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$收敛，则（1）$\lim\limits_{i\to \infty}p_i=1$；（2）$\lim\limits_{i\to\infty}\displaystyle\prod_{k=i+1}^{\infty}p_k=1$

3. 定理1：无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$收敛的充要条件是$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\ln p_i$收敛.

   推论1：设$\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}p_i=\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}(1+a_i),a_i>0,i\in I$，则无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$收敛的充要条件为$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$收敛

   推论2：设$\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}p_i=\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}(1+a_i)$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$收敛，则无穷乘积$\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}p_i$收敛的充要条件是$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i^2$收敛

4. 定义3：若$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\ln p_i$绝对收敛，则称无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$绝对收敛

5. 定理2：设$a_i>-1,i\in I$，无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_i)$绝对收敛的充要条件是$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1+|a_i|)$收敛

6. 定理3：设$a_i>-1,i\in I$，无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_i)$绝对收敛的充要条件是$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$绝对收敛

7. 补充：Wallice（沃利斯）公式
   $$
   \displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}[1-\frac{1}{(2i)^2}]=\frac 2\pi
   $$

函数级数

函数列与函数项级数的基本概念

0. 定义：设$u(x),n=1,2,3,…$是定义在集合$I$上的函数

   0. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+…+u_n(x)+…$称为函数级数，其中记$S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^nu_k(x)$，则${S_n(x)}$为部分和函数序列；
   1. 设$x_0\in I$，若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$收敛，即$\lim\limits_{n\to \infty}S_n(x_0)$存在，则称函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$x_0$处收敛，否则则在该点处发散；
   2. 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$收敛点构成的集合$E$称为函数项级数的收敛域，发散点集则称为该函数项级数的发散域。

1. 求函数项级数的收敛域实际上是将自变量$x$视为参数，应用数项级数收敛判定定理来判定是否收敛

2. 讨论对于函数序列${f_n(x)}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)$

   0. 若$f_n(x)(n=1,2,3,…)$在$[a,b]$内连续，则$f(x)$在$[a,b]$内也连续？（不成立）
      $$
      \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n\to \infty}\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)？
      $$

   1. 若$f_n(x)(n=1,2,3,…)$在$[a,b]$内可积，则$f(x)$在$[a,b]$内也可积？（不成立）
      $$
      \int_a^b\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)dx=\lim\limits_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)dx？
      $$

   2. 若$f_n(x)(n=1,2,3,…)$在$[a,b]$内可导，则$f(x)$在$[a,b]$内也可导？（不成立）
      $$
      f’(x)=\frac d{dx}\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n\to \infty}(\frac d{dx}f_n(x))？
      $$

一致收敛性

函数序列的一致收敛

0. 定义1（函数序列的逐点收敛）：设函数序列${f_n(x)}$，任意选取$x_0\in I$，若数列${f_n(x)}$收敛到$f(x_0)$，则称函数序列${f_n(x)}$在$I$上逐点收敛
   $$
   \forall x_0\in I,\forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon,x_0)\in \mathbb N ^ * , \forall n>N:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon
   $$

1. 定义2（函数序列的一致收敛）：设函数序列${f_n(x)}$定义在$I$上，若对于任意$\varepsilon>0$，存在仅和$\varepsilon$有关的自然数$N(\varepsilon)>0$，当$n>N$时，对于任意$x\in I$有$|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$成立，则称函数序列${f_n(x)}$在$I$上一致收敛于$f(x)$，记为$f_n(x)\stackrel{uni}\longrightarrow f(x)$
   $$
   \forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)\in \mathbb N ^ * , \forall n>N,\forall x\in I :|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon
   $$
   其否定义为
   $$
   \exists \varepsilon_0>0,\forall N\in \mathbb N ^ * , \exists n_0>N,\exists x_0 \in I :|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|\geq\varepsilon_0
   $$

2. 若$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x),|f_n(x)-f(x)|\leq \alpha_n, n\in \mathbb N ^ * ,\lim\limits_{n\to \infty}\alpha_n=0$，则有函数序列${f_n(x)}$一致收敛于$f(x)$

3. 余项定理：函数序列${f_n(x)}$在$I$上一致连续于$f(x)$的充要条件为
   $$
   \beta_n=\sup|f_n(x)-f(x)|(n\in \mathbb N ^ * ),\lim\limits_{n\to \infty}\beta_n=0
   $$

4. 逐点收敛的柯西定理：函数序列逐点收敛充要条件为
   $$
   \forall x_0\in I,\forall N(x_0,\varepsilon)\in \mathbb N ^ * ,\forall n>N,\forall p\in \mathbb N^ *:|f_n(x_0)-f_{n+p}(x_0)|<\varepsilon
   $$

5. 一致收敛的柯西定理：函数序列${f_n(x)}$在$I$上一致收敛的充要条件是：任给$\varepsilon>0$，存在仅和$\varepsilon$有关的自然数$N(\varepsilon)$，当$n>N$时，对任意的$p\in \mathbb N ^ *$，有$|f_n(x)-f_{n+p}(x)|<\varepsilon$对一切$x\in I$成立
   $$
   \forall \varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)\in \mathbb N ^ * , \forall n>N,\forall p\in \mathbb N ^ * ,\forall x\in I :|f_n(x)-f_{n+p}(x)|<\varepsilon
   $$

函数项级数的一致收敛

0. 定义：函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$，$S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k(x)$，若${S_n(x)}$在$I$上一致收敛于$S(x)$，则称$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致收敛于$S(x)$

1. 函数项级数一致收敛柯西定理：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致收敛的充要条件
   $$
   \forall \varepsilon >0, \exists N(\varepsilon)\in \mathbb N^ * ,\forall n>N , \forall p\in \mathbb N ^ * ,\forall x\in I:|u_{n+1}(x)+…+u_{n+p}(x)|<\varepsilon
   $$
   推论：设$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致连续，则函数列${u_n(x)}$在$I$上一致收敛于0（逆否命题也成立）

   不一致收敛的充要条件
   $$
   \exists \varepsilon_0>0,\forall N\in \mathbb N^ * ,\exists n_0>N,\exists p_0\in \mathbb N^ * ,\exists x_0\in I:|u_{n_0+1}(x_0)+…+u_{n_0+p_0}(x_0)\geq \varepsilon_0|
   $$

2. 魏尔斯特拉斯判别法：若存在正项收敛级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$使得当$x\in I$时有$|u_n(x)|\leq a_n,n= 1,2,…$，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致收敛

   推论：若$|u_n(x)|\leq a_n(x),n=1,2,3,…$且$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$一致收敛，该结论依旧成立。（亦称优先判别法，将$a_n$对应的级数称为$u_n(x)$对应级数的优级数）

狄利克雷和阿贝尔判别法

0. 函数序列的逐点有界：设${f_n(x)}$定义在$I$上，若给定$x\in I$，存在$M(x)>0$，使得$|f_n(x)|\leq M(x)$对$n=1,2,…$成立，则称${f_n(x)}$在$I$上逐点有界
   $$
   \forall x\in I,\exists M(x):|f_n(x)|\leq M(x),\forall n\in \mathbb N ^ *
   $$
   注：已知一个数列收敛必有界，因此一个函数序列收敛必逐点有界

1. 函数列的一致有界：若存在$M^>0$使得$|f_n(x)|\leq M^$对一切$x\in I,n=1,2,…$成立，则称${f_n(x)}$在$I$上一致有界
   $$
   \exists M >0,\forall n\in \mathbb N ^ *,\forall x\in I:|f_n(x)\leq M^|
   $$

2. 阿贝尔引理：
   $$
   |\displaystyle\sum_{k=1}^na_kb_k|\leq M(|b_1|+2|b_n|)
   $$

狄利克雷判别法

若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)$满足下列条件

0. ${b_n(x)}$对固定的$x\in I$单调且在$I$上一致收敛于0
1. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$的部分和函数列${S_k(x)}$在$I$上一致有界：$\exists M>0,\forall x\in I,|S_k(x)|\leq M,k=1,2,3,…$

则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛

阿贝尔判别法

若$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)$满足下列条件

0. ${b_n(x)}$对固定的$x\in I$单调且在$I$上一致有界
1. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$在$I$上一致收敛

则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛

函数项级数和函数的性质

连续性

0. 基本问题——和函数是否连续：若$f_n(x)(n=1,2,3,…)$在$[a,b]$内连续，则$f(x)$在$[a,b]$内是否连续
   $$
   \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n\to \infty}\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)
   $$

1. 函数序列极限函数的连续性：若$f_n(x)(n=1,2,3,…)$在$I$内连续，且${f_n(x)}$在$I$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$在$I$上连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}（\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)）=\lim\limits_{n\to \infty}（\lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)）,\forall x_0\in I$

   注：当$x_0$为有限边界点时结论成立，则边界点相应的是左右连续的

2. 函数项级数的连续性：设$u_n(x),n=1,2,…$在$I$上连续，函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上一致收敛于$S(x)$，则$S(x)$在$I$上连续，$\lim\limits_{x\to x_0}S(x)=S(x_0)$，即
   $$
   \lim\limits_{x\to x_0}(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x))=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(\lim\limits_{x\to x_0}u_n(x)),\forall x_0\in I
   $$
   注：当$x_0$为有限边界点时结论成立，则边界点相应的是左右连续的

   0. 推论：设$f_n(x),n=1,2,3,…$在$I$上连续，且$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)$，且$f(x)$在$I$上不连续，则${f_n(x)}$在$I$上不一致收敛
   1. 推论：设$u_n(x),n=1,2,3,…$在$I$上连续，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$在$I$上收敛于$S(x)$，$S(x)$在$I$上不连续，则$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$不一致收敛于$S(x)$

3. 内闭一致收敛：

可积性

可微性

幂级数的及其收敛区间

幂级数和函数的性质

泰勒级数

傅里叶级数

傅里叶级数的性质

傅里叶级数的计算

傅里叶级数的平方逼近问题

傅里叶积分和傅里叶变换

傅里叶变换的计算

傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换

快速傅里叶变换

小波变换初步